Исследование моделей численности популяций и социальных явлений

Лабораторная  работа

«Исследование моделей численности популяций и социальных явлений»

 

1. Модели численности однородных популяций:

 

1. Модель Мальтуса (модель неограниченного роста) 

, где k – коэффициент рождаемости

2. Модель Ферхюльста-Пирла

, где k – коэффициент рождаемости, b – коэффициент смертности

3. Модели однородных  популяций с изъятием (с – квота отлова):

а) с постоянной квотой отлова

в) с квотой отлова, пропорциональной численности

4. Модель мобилизации 

Модель мобилизации описывает  динамику изменения численности  организации, вербующей себе сторонников: политических партий или движений, религиозных групп и т.п. Пусть  к началу n-ого периода существования организации доля ее сторонников в населении равна x. Тогда к началу (n+1)-го периода:

1) некоторая доля неохваченного  населения примкнет к организации  вследствие агитации. Доля неохваченного  населения равна (1-x); доля примкнувших равна ¦·(1-x), где ¦ называется коэффициентом агитируемости. Величина ¦ находится в интервале (0, 1).

2) некоторая доля сторонников  отойдет от организации (умрет,  разочаруется, будет исключена). Доля  отошедших равна g·x. Число g называется коэффициентом выбытия. Величина g находится в интервале (0, 1).

Таким образом, доля членов организации  в начале (n+1)-го периода определится формулой

 

2. Модели взаимодействующих популяций

 

1. Модель «хищник-жертва» взаимодействия двух популяций  (модель Лотки-Вольтерра):

 

Модель Лотки-Вольтерра имеет вид (х₁ - жертва, х₂ - хищник):

где член ах характеризует естественный прирост жертв; член bxy - гибель жертв за cчёт взаимодействия с хищником; член cхy – прирост хищников за счёт поедания жертв; член dy - гибель хищников при нехватке пищи (то есть, жертв).

2. Модель военных конфликтов

Пусть численности армий двух противоборствующих сторон на некотором n-ом шаге военного конфликта равны x и y. На следующем шаге (через год, неделю, день) армии уменьшаются. Рассмотрим грубую схему, в которой за один шаг каждый воин армии x убивает в среднем k воинов армии y, а каждый воин армии y убивает в среднем b воинов армии x. Таким образом, на n-ом шаге армия x теряет b·y_n воинов, армия y теряет k·x_n воинов. Величины k и b характеризуют вооруженность сторон. Так мы получаем модель

 

Задание

1. Выполнить качественный анализ данных моделей, построить фазовые портреты, определить типы неподвижных точек.
2. Построить компьютерные модели, отражающие динамику популяций:

- для однородных популяций –  динамический портрет (график численности популяции в плоскости (t,x));

- для взаимодействующих популяций  – фазовый и динамический портреты.

 

Замечание

Т.к. данные математические модели непрерывны, необходимо для выполнения второго задания построить вычислительную модель. Для этого:

1) разделим временную ось на  отрезки равной длины  (чем меньше , тем точнее результат, например, );

2) сделаем замену

;

3) выразим x_i+1:

например, для модели Мальтуса получим  – функция, заданная рекуррентно.