Использование векторов для доказательства теорем и решения задач

Использование векторов для доказательства теорем и решения задач

 

 

 

Работу выполнил: 

Капинос Анатолий

ученик 9 «а» класса

МОУ СОШ № 2 р.п. Колышлей

Пензенской области

 

 

 

Цель:

 

            показать   преимущества        векторного метода для доказательства  некоторых теорем и решения  задач из планиметрии.

 

Задачи

 

• рассмотреть доказательства некоторых теорем векторным методом;

 

• рассмотреть доказательства основных соотношений, применяемых при решении задач;

 

• рассмотреть решение  задач  курса планиметрии.

 

Методы исследования:

 

• изучение литературы по теме;
• изучение интернет сайтов по теме;
• доказательство теорем и соотношений;
• решение задач по данной теме.

 

Применение векторов к доказательству теорем

Теорема 1.  Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна  половине  этой стороны.

 

     Дано: ∆АВС

      MN-средняя линия   

     Доказать:

      1)MN ||AC

      2)MN=     АС

Доказательство:

3)Пусть

4)Тогда по свойству сложения векторов

5)

6)M-середина AB, тогда                              и                       , значит

7)N-середина BC, тогда                           и                                , значит

8) Получаем                                    ,  следовательно,      

9)                         ,  это означает, что                     и       

                                                                                                              

                                                                                                                    Теорема доказана.

 

 

Теорема 2.Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусуме.

 

              Дано:

ABCD-трапеция

MN-средняя линия

              Доказать:

MN||AD

MN=             

Доказательство.

 

1.По правилу многоугольника                                               или                                                 ,сложим 

эти   равенства почленно и получим:

2.M-середина AB,тогда                        и                        ,значит                        ,следовательно,

3.N-середина CD , тогда                                ,значит                           , следовательно,   

4.Следовательно , получаем, что                                   ,тогда

5.Так как векторы      и         сонаправлены, то векторы             и                    также

 сонаправлены

6.Так как векторы          и            сонаправлены , то

7. Таким образом получили, что MN||AD и MN=                 

                                                                                                                            Теорема доказана .       

  Теорема 3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна         сумме квадратов всех его сторон.

 

       Дано:

ABCD-параллелограмм

       Доказать:

AB2+BC2+CD2+AD2=AC2+BD2

                                                        Доказательство.

1. Пусть                                   ( │АВ│=│CD│= a; │AD│=│BC│= b).
2. По определению суммы и разности векторов  получим                       и       
3. По свойству скалярного квадрата вектора, получим:

 

4. Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, то получим                                                                              

|AC|2+|BD|2 =|AB|2+|BC|2+|CD|2+|AD|2 , остюда и  получаем , что                                                

      AB2+BC2+CD2+AD2=AC2+BD2

                                                                                                                                                               Теорема доказана.

 

Теорема 4.        Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 

 

Дано:

ABCD – ромб

 

Доказать:

 

                                                                Доказательство.

1. Пусть 
2. Из определения ромба следует , что

 

3) По определению суммы и разности векторов  получим                   и

4) Рассмотрим скалярное произведение векторов          и          , по свойствам

скалярного произведения, получим

5) Так как стороны ромба равны, то a = b, тогда                            ,               

  следовательно, AC     DB

                                                                                                                      Теорема доказана.

 

Теорема 5.   Диагонали прямоугольника равны между собой. 

 

   Дано:

ABCD – прямоугольник

 

   Доказать:

АС = BD

                                                                      Доказательство.

Пусть

По определению суммы и разности векторов  получим                           и 

Найдем квадраты диагоналей, используя свойство скалярного произведения:         

                                         ,                                        

Так как дан прямоугольник, то                       , а значит ,                   , следовательно ,

получим ,что                          ,                     

Так как                               ,                             ,то                       , тогда                    , а значит

AC=BD.

                                                                                                         Теорема доказана.

 

Теорема 6. (Теорема Пифагора) Если треугольник прямоугольный , то квадрат его гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

 

        Дано:    

   AMK , <AMK = 90

        Доказать:

 AK2=AM2+MK2.

                                                                Доказательство:

 

 

 

 

 

 

 

   Так как скалярное произведение векторов                              и                       

    равно нулю,            =           ,            =            ,           =            , то  AK2=AM2+MK2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

M

 

K

 Основные соотношения.  
1  основное соотношение.  
Если точка С - середина отрезка АВ, а О - произвольная точка пространства, то выполняется следующее равенство:

 

Дано:

отрезок АВ

С – середина АВ (АС=СВ)

Доказать:

 

                                                                 Доказательство:

По правилу треугольника                               , в тоже время                              

Сложим, почленно, эти равенства, получим

С – середина АВ, тогда                         и                          , значит                          ,

следовательно,                         

Получаем                                 , тогда

                                                                                                          Соотношение доказано.

 

 

Задача 1 .  
Доказать, что, если точка А пересечения диагоналей четырехугольника MNPQ  и середины В, С его противоположных сторон MN и PQ лежат на одной прямой, то MNPQ-трапеция или параллелограмм. 

 

          Дано:

MNPQ – параллелограмм

PM     QN=A,

MB=BN

QC=CP

В и C лежат на одной прямой.

 Доказать: MNPQ-трапеция  или параллелограмм

Доказательство.

Пусть                              

Так как  точки A, M, P лежат на одной прямой, то            и            -коллинеарны,

следовательно,                    

Так как  точки A, N, Q лежат на одной прямой, то               и            -коллинеарны,

следовательно,                  

Так как В-середина отрезка MN,  то                                     (по 1 соотношению)

Так как С-середина отрезка QC,  то                                     (по 1 соотношению)

                            ,                 ,                 ,тогда                               

По условию точки А, В, С лежат на одной прямой, и потому существует такое

 

 

число m, что                            , то есть  
 
                                    
                                   и                              ,тогда                                                   , 
 
 
, в силу коллинеарности векторов         и        получим, что m=k=l.  
                              
                          
 
                            ,                                                                                         , следовательно , 
, значит , прямые PQ и MN коллинеарны, причем PQ и MN не совпадают , тогда PQ MN , то есть то есть MNPQ- трапеция или параллелограмм 
 
 
 
 
                                                                                                                                  
 
 

2  основное соотношение.  
Пусть С – точка, делящая отрезок АВ в отношении                             ,O– произвольная точка плоскости.  
Тогда                                    

 

Дано:

отрезок АВ

       Доказать:

 

                                                                          Доказательство:

Так как                  ,то  

 

                                                                                                                                                                                  

 

                                                                   , тогда

 

Так как                     , то                           , следовательно

                                                                           

                                                                               , откуда получаем

 

 значит,                                                                                                            Соотношение доказано.         

 

 

 

           

 

 

Задача 2 . В треугольнике KLM на стороне KL взята точка A так, что 
, на стороне LM взята точка В так, что .                 Пусть С - точка пересечения прямых КВ и МА. Известно, что площадь треугольника KLС равна 2. Найти площадь треугольника KLM. 
    

 

 Дано: 

∆KLM                  ,                        KB     MA=C,    SKLC=2

Найти: SKLM

                                                    Решение:

Пусть  SKLB=S. ∆KLM  и  ∆KLB  будут иметь общую высоту, проведенную из точки K  к  LM.        Значит,

 

               , LB+BM=LM , тогда                 , значит                  , тогда                           или

     

 Введем векторы        и          . На  основании 2 соотношения  получим 

Пусть                       , где 0<x<1, т.к. C    KB, тогда                                      

Пусть                    .тогда из ∆AKM по  2 соотношению получим 

 

 

 

 

 

 

В силу единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам  получаем

 

систему

 

 

Сложим по частям уравнения последней системы, получаем                 или 

Так как ∆KLB  и ∆KLC имеют общую высоту, то их площади относятся как основания, т.е.

 

 

 Так  как                          , то KC=    KB, следовательно                , а значит                  ,тогда