Интегрирующий множитель

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования «Мозырский государственный педагогический университет имени И.П. Шамякина»

 

 

 

 

Кафедра теоретической физики и прикладной математики

 

 

 

 

Курсовая работа

 

ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 4 курса 2 группы

физико-математического факультета

дневной формы обучения

Астрейко Натальи Сергеевны

 

_______________________

 

Научный руководитель:

ст. преподаватель, Игнатович С.В.

 

 

 

 

Мозырь 2014 
Содержание:

Введение ………………...……..……………………………….………… 4

Основная часть:

Глава 1. Основные дифференциальные уравнения. Уравнения

в полных дифференциалах ……………..…….……………………...….….… 6

1.1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений ………………………..………………………………………….…… 6

1.2. Понятие  об уравнении в полных дифференциалах …..…...……….. 7

1.3. Признак  уравнения в полных дифференциалах. Построение 

общего интеграла ……………...……………...…………………………….…… 9

Глава 2. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя ……………………...…….…… 11

2.1 Общая теория ………………………………………………………... 11

2.2. Один общий способ нахождения интегрирующего множителя .... 15

2.3. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от и только от ………………………………………………………………….…... 17

2.4. Случай интегрирующего множителя вида ………. 19

2.5. Интегрирующий множитель и особые решения ……………….… 21

2.6. Интегрирующий множитель уравнения с разделяющимися переменными ………………………..…………………………………….…… 22

Заключение ………………………..……………………………….…… 23

Список использованной литературы ……………………………….. 25

 

 

Введение

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения имеют большой теоретический и практический интерес, являются фундаментом для многих других разделов высшей математики, например, для уравнений с частными производными, уравнений математической физики, вариационного исчисления, а также – базой для глубокого изучения механики, физики и других естественных наук.

Перечислим основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения; обобщенные однородные уравнения; линейные дифференциальные уравнения; уравнения Бернулли; уравнения Риккати; уравнения Якоби; уравнения в полных дифференциалах.

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то следует попытаться найти интегрирующий множитель, чтобы свести его к уравнению в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель - это такая функция от переменных и , умножив на которую, дифференциальное уравнение первого порядка

 

становится уравнением в полных дифференциалах:

.

Цель данной курсовой работы заключается в исследовании интегрирующего множителя и его свойств.

Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:

1. изучить основные понятия теории обыкновенные дифференциальные уравнения;
2. рассмотреть уравнения в полных дифференциалах;
3. изучить понятие интегрирующего множителя и исследовать общие сведения о нем;
4. рассмотреть простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя.

Объектом курсовой работы являются дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах.

Предметом исследования является понятие интегрирующего множителя и простейшие случаи его нахождения.

Данная курсовая работа состоит из введения, двух глав и заключения.

Первая глава содержит сведения о теории обыкновенных дифференциальных уравнений (рассмотрено ОДУ, даны определения порядку и решению ОДУ), а так же изучены теоретические сведения об уравнениях в полных дифференциалах (вид уравнения в полных дифференциалах, его признак и построение общего интеграла).

Роль инетегрирующего множителя для нахождения общего интеграла и его общие свойства исселедуются во второй главе (теоремы о существовании, о неединственности и об общем виде интегрирующего множителя). Данная глава так же содержит один общий способ нахождения интегрирующего множителя, основанный на использовании его свойств изложенных выше, и простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя (интегрирующий множитель зависящий только от или , либо вида и др.).

 

 

Глава 1. Основные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах

 

1.1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции.

Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение вида (1.1) представляет пример выше описанного уравнения:

.     (1.1)

Если же входящая в дифференциальное уравнение неизвестная функция зависит от нескольких независимых аргументов, то оно называется уравнением в частных производных. Примером служит уравнение

,     (1.2)

которое содержит неизвестную функцию .

Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящей в уравнение производной. Так дифференциальные уравнения (1.1) и (1.2) – это уравнения второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Например, легко проверить, что функция является решение дифференциального уравнения . Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения. Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка можно представить в виде:

(1.3)

Содержит неизвестную переменную , неизвестную функцию и её производные , , …, .

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Уравнение считается проинтегрированным, если его решение найдено в явном виде или определяется неявно уравнением вида независимо от того, удается ли разрешить это уравнение относительно неизвестной функции или нет. Уравнение , которое определяет решение дифференциального уравнения, называется интегралом этого дифференциального уравнения.

 

1.2. Понятие об уравнении  в полных дифференциалах

 

Рассмотрим такой тип уравнений, которые не всегда допускают интегрирование в квадратурах. Этот тип, вследствие того, что к нему сводятся многие другие уравнения, имеет важное значение в теории дифференциальных уравнений. Речь идет об уравнении в полных дифференциалах. Так называется уравнение

,    (1.4)

левая часть которого представляет собой полный дифференциал некоторой функции от и , т.е.

.   (1.5)

Относительно функций и мы будем предполагать, что они непрерывны по обеим переменным в некоторой области.

Уравнение в полных дифференциалах можно записать так:

.      (1.6)

Поэтому общий интеграл его имеет вид

.      (1.7)

При этом функция является интегралом уравнения (1.4).

Особых решений уравнение в полных дифференциалах, очевидно, не имеет.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

.     (1.8)

Левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал функции

.     (1.9)

Поэтому общий интеграл рассматриваемого уравнения имеет вид

,  или  .  (1.10)

Пример 2. Возьмем уравнение

.    (1.11)

Раскроем скобки и сгруппируем член так, чтобы каждая группа представляла собой полный дифференциал:

.   (1.12)

или

.   (1.13)

Заменяя сумму дифференциалов на дифференциал суммы, получаем:

,  .  (1.14)

Следовательно, уравнение (1.11) является уравнением в полных дифференциалах, а равенство

     (1.15)

есть его общий интеграл.

Ясно, что построение функции подобной группировкой слагаемых возможно лишь в том случае, если заранее известно, что левая часть уравнения представляет собою полный дифференциал. Но даже тогда когда это и известно, нам не всегда удается легко поободрать соответствующую группировку слагаемых.

Поэтому возникают два вопроса:

1) Как  узнать по виду уравнения (1.4), является ли оно уравнение в полных дифференциалах?

2) В случае  положительного ответа на первый  вопрос, как построить функцию  и, следовательно, общий интеграл уравнения (1.4)?

 

 

1.3. Признак уравнения  в полных дифференциалах. Построение  общего интеграла

 

Предположим, что функции и имеют непрерывные частные производные соответственно по и по . Пусть левая часть уравнения (1.4) представляет собою полный дифференциал, т.е.

.

Это равносильно тому, что имеют место тождества

.   (1.16)

Дифференцируя первое из этих тождеств по , а второе по , получаем тождества

(1.17)

левые части полученных тождеств равны между собой, а тогда равны и правые, т.е.

.     (1.18)

Условие (1.18) является необходимым для того, чтобы левая часть уравнения (1.4) была полным дифференциалом. Покажем, что это условие является и достаточным.

Действительно, пусть условие (1.18) выполнено. Покажем, что тогда существует функция , удовлетворяющая соотношению (1.5) или, что то же, обоим равенствам (1.16).

Будем исходить из первого из равенств (1.16):

.      (1.19)

Нетрудно убедиться, что ему удовлетворяет функция

,    (1.20)

где - произвольная функция от , которую мы будем считать дифференцируемой и выберем её так, чтобы функция (1.20) удовлетворяла и второму равенству (1.16), т.е. чтобы

,   (1.21)

или

.    (1.22)

Используя условие (1.18), перепишем это равенство так:

.    (1.23)

Выполняя интегрирование, получаем:

  

или

,

откуда

,

следовательно,

,    (1.24)

где - уже произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение функции в формулу (1.20), получаем искомую функцию :

,   (1.25)

что и доказывает достаточность условия (1.18). Итак, тождественное выполнение равенства (1.18) является необходимым и достаточным признаком уравнения в полных дифференциалах.

Взяв одну из функций (1.25), например, ту, у которой , и приравняв её произвольной постоянной , получим общий интеграл уравнения (1.4) в следующем виде:

.    (1.26)

Если при построении функции брать за исходное второе из равенств (1.16), то мы получим для общего интеграла симметричное выражение

.    (1.27)

В формулах (1.26) и (1.27) нижние пределы интегрирования и можно выбирать произвольно, но так, чтобы получающиеся интегралы имели смысл. Удачный выбор и во многих случаях облегчает задачу интегрирования уравнения.

Пример 1. Рассмотрим снова уравнение (1.11):

.

Здесь

,   ,   ,  ,  (1.28)

так что условие (1.18) выполнено. Для получения общего интеграла воспользуемся формулой (1.26), где положим , тогда получим

.   (1.29)

Выполняя интегрирование, получим общий интеграл опять в виде (12).

 

Пример 2. Дано уравнение

.    (1.30)

Условие (1.18) выполнено. Применим формулу (1.26), положив , , получим:

, .  (1.31)

(Мы не можем полагать , так как второй из интегралов оказался бы расходящимся).

 

Глава 2. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя

 

2.1. Общая теория

 

Уравнение в полных дифференциалах всегда интегрируется в квадратурах. Поэтому естественно возникает вопрос: нельзя ли уравнение не в полных дифференциалах привести к виду уравнения в полных дифференциалах? Оказывается, что во многих случаях это можно сделать. А именно, удается найти функцию , после умножения на которую уравнение

(2.1)

преобразуется в уравнение

(2.2)

в полных дифференциалах, т.е.

.   (2.3)

Такая функция называется интегрирующим множителем, а функция – соответствующим ему интегралом уравнения (2.1). Общий интеграл уравнения (2.1) дается равенством