Загальна задача інтерполювання алгебраїчними поліномами

 

 

 

Приклад 2

Нехай значення функції і її похідних задані в точках 0,1,2 таблично:

x	0	1	2
	1	2	33
	0	5	80

Побудувати таблицю розділених різниць зі значеннями аргументів, які повторюються.

Таблиця буде виглядати наступним  чином:

x	y	1 розд. різниця	2 розд. різниця	3 розд. різниця	4 розд. різниця	5 розд. різниця
0   0   1   1   2   2	1   1   2   2   33   33	0   1   5   31   80	1   4   26   49	3   11   23	4   6	1

 

4. Загальна інтерполяційна формула Ньютона з розділеними різницями.

Спробуєм вивести інтерполяційну формулу Ньютона у випадку  кратних вузлів. Нехай нам задані значення деякої функції визначеної і неперервної на деякому відрізку та її похідних в точках . Нам потрібно замінити функцію деякою іншою функцією  , такою що разом зі своїми похідними приймає такі самі значення, що і функція у вузлах інтерполювання, тобто іншими словами задовільняє систему:

,

при чому являють собою значення функції у вузлах розміщених на відрізку , а являє собою значення j-ої похідної від у вузлі . Припустимо, що всі необхідні нам похідні є неперервними. Будемо розглядати на відрізку разом з вузлами декі вузли вибрані таким чином, що серед вузлів нема рівних, тоді згідно інтерполяційної формули Ньютона можем записати:

 

(34)

 

 

Перейдемо у формулі (34) до границі при . При цьому отримаємо:

(35)

Позначимо              тоді перші членів дадуть нам вираз для інтерполяційного многочлена, а останній член буде являти собою залишковий член. Покажемо тепер, що отриманий інтерполяційний многочлен буде задовільняти усі наші вимоги. В звязку з цим позначимо його через . Дійсно, при підставлянні , , це є очевидним із самого вигляду многочлена. З другої сторони, перед переходом до границі ми могли б взяти за початкову точку не , а любу іншу точку . При цьому в силу єдиності інтерполяційного многочлена Лагранжа ми отримали б той же самий многочлен, тільки записаний в іншій формі.  Звідси випливає, що і границя цього многочлена буде такаж сама. Але в цьому випадку його початкові члени будуть мати вигляд:

Многочлен такого вигляду  задовільняє інтерполяційні умови  в точці  ,

так як цей многочлен тотожній із многочленом  , то і многочлен задовільняє наші умови.

На підставі всього вище сказаного отримаєм:

 

(36)

 

Многочлен у нашому випадку назвемо інтерполяційним многочленом Ньютона. В попередніх пунктах ми отримали інший вираз для залишкового члена. Зрівняєм ці два вираза і отримаєм:

(37)

 

Розглянемо приклад.

Приклад 1

Побудувати інтерполяційний  многочлен Ньютона, якщо значення функції разом з її похідними наведено в таблиці:

x	0	2	4	5
y	1	2	4	7
		2	4	3
		1		2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця розділених різниць  буде виглядати так:

x	y	1 розд. різниця	2 розд. різниця	3 розд. різниця	4 розд. різниця	5 розд. різниця	6 розд. різниця	7 розд. різниця	8 розд. різниця	2 розд. різниця	3 розд. різниця	4 розд. різниця	5 розд. різниця	6 розд. різниця
0   2   2   2   4   4   5   5   5	1   2   2   2   4   4   7   7   7	0,5   2   2   1   4   3   3   3	0,75   0,5   -0,5   1,5   -1   0   1	-0,125   -0,5   1   -0,8333   1   1	-0,0938   0,75   -0,6111   0,6111   0	0,211   -0,4537   0,407   -0,2037	-0,1359   0,287   0,2037	0,084   -0,1639	-0,049	0   -1   0,5   -4   10	-1   1,5   -4,5   14	2,5   -3   18,5	-2,75   10,75	6,75

 

Використаєм нашу формулу  отримаєм:

спростивши цей вираз, маєм:

Отриманий многочлен і справді задовільняє усі наші вимоги.

 

Висновки.

На основі всього вище сказаного та доведеного можемо зробити деякі висновки.

В першому пункті ми описали  постановку загальної задачі інтерполяції та описали основні поняття та позначення цієї задачі.

В другому пункті ми побудували деякий многочлен, який задовільняє  наші умови загального випадку задачі інтерполяції, ми довели, що степінь цього многочлена не може перевищувати деяке число m, яке рівне сумі всіх точок у яких задані значення функції та її похідних. Побудований нами многочлен називається інтерполяційним многочленом Ерміта, ми навели пару практичних прикладів як будувати поліном такого вигляду, а також показали, що він має такий загальний вигляд:

І нарешті під кінець другого  пункта ми оцінили злишковий член інтерполяційної формули Ерміта і як виявилось він є рівним:

,

_{На підставі цього факту ми зробили висновок, що інтерполяційний  многочлен Ерміта рівномірно збігається до шуканої нами функції .}

_{В третьомуу пункті ми ввели таке поняття як розділені різниці зі}

_{значеннями  аргументу, які повторюються і вивели формулу для їх обчислення:}

_{Також ми показали як їх можна обчислювати за допомогою використання таблиць.}

_{В четвертому пункті ми побудували інтерполяційний многочлен Ньютона у випадку задачі з кратними вузлами і показали що він рівний:}

 

 

 

 

 

_{Під кінець ми навели практичний приклад побудови інтерполяційного многочлена Ньютона.}

 

 

 

 

 

 

_{Список  використаних джерел.}

1. _{Березин  И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений Т. 1 – М. : ГИФМЛ, 1962 – 464 с.}
2. _{Богачев К. Ю. Методы приблежения функций – М. : ГИФМЛ, 1998 – 128 с.}
3. _{Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики – М. : ГИФМЛ, 1966 – 664 с .}
4. _{Жалдак М. И., Рамский Ю. С. Численные методы математики – К. : Рад. шк., 1984 – 206 с.}
5. _{Ибрагимов И. И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения – М. : ГИФМЛ, 1971 – 518 с.}
6. _{Калиткин Н. Н. Численные методы – М. : ГИФМЛ, 1975 – 512 с.}