Дослідження Еваріста Галуа

Ми бачили , що якщо х = А - один з коренів деякого рівняння , то воно неодмінно має і корінь х = -1 / B.

Якщо А позитивне і більше одиниці , то -1 / B негативне і укладається між 0 і -1 ; і навпаки, якщо А негативне і укладається між 0 і -1 , то -1 / B позитивне і більше одиниці.

Таким чином , коли один з коренів рівняння другого ступеня є чисто періодичний безперервний дріб, велика одиниця, другий корінь неодмінно укладається між 0 і -1 ; і , навпаки , якщо перший корінь укладається між

0 і -1 , то другий неодмінно  позитивний і більше одиниці .

Можна довести , що , навпаки, якщо один з двох коренів рівняння другого ступеня позитивний і більше одиниці , а другий пролягає між 0 і -1 , то ці корені виражаються в чисто періодичних безперервних дробах .

Дійсно, нехай весь час А - деякий чисто періодичний безперервний дріб , позитивна і велика одиниці , а В - чисто періодичний безперервний дріб , одержуваний з А оберненням періоду , також позитивний і великий , ніж одиниця .

Перший з даних коренів не може мати форми

     x = p + 1 / A ,

Так як тоді , в силу нашої теореми , другий корінь повинен бути

x = p + 1 / ( -1 / B ) = p - B ,

а p - B буде укладатися між 0 і -1 лише тоді , коли ціла частина B дорівнює p , в такому випадку перше значення буде чисто періодичним .

Перше значення х , крім того , не може дорівнювати

x = p + 1 / ( q + 1 / A ) , так як тоді іншим значенням буде

x = p + 1 / ( q - B ) або x = p - 1 / ( B - q ) ;

Але щоб значення укладалося між 0 і -1 , необхідно насамперед, щоб

1 / ( B - q ) дорівнювало p плюс деякий дріб.

Отже необхідно, щоб B - q було менше одиниці , а це вимагає , щоб В дорівнювало q плюс деякий дріб ;

Звідки видно , що p і q повинні бути відповідно рівні двом першим членам періоду В або двом останнім членам періоду А; так що , всупереч припущенням , значення x = p + 1 / ( q + 1 / A ) буде чисто періодичним.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поле Галуа

Скінченне поле або поле Галуа — поле, яке складається зі скінченної множини елементів.

Найменше поле Галуа   містить лише два елементи, 0 та 1  арифметичні операції над якими поводяться майже як звичайно, за винятком правила 1+1 = о.  Це поле широко застосується в дискретній математиці, комп'ютерних науках і теорії кодування.

 

 

Ідея застосування поля   полягає в тому, що доцільно розглядати послідовності з нулів й одиниць як елементи деякої алгебраїчної структури: векторного простору над цим полем, розширення   кільця многочленів   тощо.

Алгебраїчні операції в цій структурі приводять до низки важливих конструкцій в означених галузях, наприклад, скінчених проективних площин, кодів Ріда-Мюлера і кодів Гоппа. Засновані на теорії скінчених полів алгоритми перевірки на простоту і факторизації цілих чисел відіграють важливу роль у сучасній прикладній теорії чисел.

Для будь-якого простого числа   кільце залишків   — це скінчене поле з   елементів, яке позначається   Е лементи цього поля можуть бути представлені цілими числами   які додаються і множаться «за модулем  » Будь-яке скінчене поле містить   елементів і однозначно задається своєю характеристикою   і степенем 

Будь-яке скінчене поле   має просту характеристику   тому воно містить в собі просте підполе   З аксіом поля випливає, що   уявляє собою скінченовимірний векторний простір над   розмірності 

Довільний елемент   задається своїми   координатами відносно певного базиса, які належать до   Таким чином, поле   складається з   елементів. Виявляється, що і навпаки, для даних простого   і натурального   існує єдине, не враховуючи автоморфізмів, поле Галуа з   елементів, яке має характеристику   і позначається 

Група Галуа

Група Галуа - група, асоційована з розширенням поля. Відіграє важливу роль при дослідженні розширень полів.

Визначення:

Нехай поле K є розширенням Галуа поля P. Взаємно однозначне відображення f поля K на себе називається автоморфізмом, якщо воно суму переводить в суму, тобто якщо для будь-яких елементів a, b поля K справедливі рівності:

.

Групою Галуа для даного розширення поля називається сукупність всіх автоморфізмів поля K, що зберігають елементи поля P: Зазвичай позначається як G (K, P) або Gal (K, P).

Приклади:

1. Якщо розширене поле збігається з вихідним , то група Галуа містить тільки один елемент: одиницю (тотожний автоморфізм ) .
2. Для розширення поля дійсних чисел до поля всіх комплексних чисел група Галуа містить 2 елементи : одиницю і комплексне сполучення .
3. Поле розширення складається з чисел виду , де a , b - раціональні числа. Група Галуа тут містить 2 елементи : одиницю і операцію , яка міняє знак у 2-го доданка
4. Нехай p - просте число , розглянемо кінцеві поля    и  , перше з них природним чином вкладено в друге. Група Галуа даного розширення - циклічна , вона породжується автоморфізмом Фробеніуса
5. Група Галуа алгебраїчного рівняння. Розглянемо рівняння алгебри четвертого ступеня .

Воно допускає наступні перетворення змінної x :

Для y = 1 / x слідує тобто .

 Тому з P ( x ) = 0 випливає, що P ( y ) = 0 . Це означає , що рівняння

P ( x ) = 0 допускає перетворення y = 1 / x . Для   отримуємо  

Ділення цього рівняння на вихідне P ( x ) дає

Таким чином, перетворення y = x² також допускається рівнянням P ( x ) .

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати факторгрупу по заданій групі.

Визначення:

Підгрупа   групи   називається нормальною, якщо вона інваріантна щодоспряження, тобто:

Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:

3. Множини лівих і правих суміжних класів   в   збігаються.

4. .

Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.

Приклади:

•  та   — завжди нормальні підгрупи  . Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група   називається простою.

• Центр групи — нормальна підгрупа.

• Комутант групи — нормальна підгрупа.

• Довільна характеристична підгрупа є нормальною, бо її спряження завжди єавтоморфізмом.

• Всі підгрупи   абелевої групи   нормальні, тому що  . Неабелева група, в якої всі підгрупи нормальні називається гамільтоновою.

Властивості:

• Нормальність зберігається при побудові прямого добутку.

• Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не обов'язково є нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивна. Але характеристична підгрупа нормальної підгрупи є нормальною.

• Кожна підгрупа індекса 2 є нормальною. Якщо   — найменьший простий дільник порядка  , то довільна підгрупа індекса   нормальна.

• Якщо   — нормальна підгрупа в  , то на множині лівих (правих) суміжних класів   можна ввести групову структуру по правилу

Отримана множина називається факторгрупою   по  .

•  нормальна тоді і тільки тоді, коли вона тривіально діє на лівих сміжних класах  .
• Нормальні підгрупи групи G утворюють ґратку відносно операції включення знайменшим елементом {e} та найбільшим елементом G. Ґратка є повною тамодулярною.

 

 

 

Висновок

 

Життя і творчість Еваріста Галуа являють собою абсолютно виняткове в історії науки явище. Молодий чоловік, який не досяг 21 року, здійснює в математиці переворот, виводячи її на зовсім новий розвиток.

Тепер ім'я Галуа - юнака гордого, непримиренно чесного, генія з дивовижною і трагічною долею, - одне з найбільш іменитих і популярних в математиці.

На закінчення своєї роботи,хочу процитувати вірш присвячений Еварісту Галуа:

«Добавить     следует     к    тому,   что     сказано  поэтом:

Да,  Галуа  республиканцем был — все  верно это.

«Неистовым»      по   прозвищу,   опасным   для «желудков сытых».

Но    в    записях  «заметных»    им    не    были раскрыты

Законы    политической    борьбы. Их    Галуа не знал.

В «заветных записях» он в тайну уравнений проникал:

Когда    решений    в    радикалах    нет,    когда они все ж есть?

Ответ    был    найден    в    свойствах    групп,— групп Галуа,—

Как их назвали позже в его честь.

Трагична  Галуа судьба. При жизни не был понят гений

Учёными.   Труды   не   издавались.   Ему   шел двадцать первый год.

Когда    на    грязной    и    подстроенной    дуэли его убил какой-то скот

Минули    годы...    И    наступил    триумф    его прозрений:

Учение   о    группах — суть    многих    из    наук теперь

И   в   эру   НТР   оно   им   приоткрыло   дверь.

В     учении     о     группах     успехов     алгебры секрет.

Об  этом   вот  поэму  надо  бы  сложить,  поэт!»

                                                                                            Из книги  Б. А. Кордемского

                                                                                     «Увлечь школьников математикой»

 

Список використаної літератури:

1. Бородин А.И, Бугай А.С, "Биографический словарь деятелей в области математики", Киев, "Радянська школа", 1979г. 

2. Дальма А. «Эварист Галуа, революционер и математик»: Пер.с франц. – 2 – е изд. – М.: Наука, 1984. – 112 с.

3. П.С. Александров «Введение в теорию групп».

4. «Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей» / Под ред. Колмогорова А.Н., Юшкевичка А.П. -М.,1978.