Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Мая 2013 в 15:38, реферат
При делении многочлены представляются в канонической форме и располагаются по убывающим степеням какой-либо буквы, относительно которой определяется степень делимого и делителя. Степень делимого должна быть больше или равна степени делителя.
Результатом деления является единственная пара многочленов – частное и остаток, которые должны удовлетворять равенству:
< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток >.
Если многочлен степени n Pn(x) является делимым,
многочлен степени m Rk(x)является делителем (n ³ m),
– 18х2у2 – х3у + 3х4
± 18х2у2 27х3у ± 45х4
– 28х3у + 48х4 =
Следовательно, ;
.
Ответ: , .
Заметим, что если наибольший общий делитель данных многочленов найден, то, умножая его на любое число, не равное нулю, мы также получим наибольший делитель этих многочленов. Это обстоятельство дает возможность упрощать вычисления в алгоритме Евклида. А именно, перед очередным делением делимое или делитель можно умножать на числа, подобранные специальным образом так, чтобы коэффициент первого слагаемого в частном был числом целым. Как показано выше, умножение делимого и делителя приведет к соответствующему изменению частного остатка, но такому, что в итоге НОД данных многочленов умножится на некоторое равное нулю число, что допустимо.
Пример №3
Сократить дробь .
Решение
Применяя алгоритм Евклида, получим
1) х4 + 3х3 + 3х2 + 3х + 2 х4 + х3 – 3х2 + 4
х4 х3 ± 3х2 4 1
2х3 + 6х2 + 3х – 2
2) 2(х4 + х3 – 3х2 + 4) = 2х4 + 2х3 – 6х2 + 8 2х3 + 6х2 + 3х – 2
2х4 6х3 3х2 ± 2х х – 2
– 4х3 – 9х2 + 2х + 8
± 4х3 ±12х2 ± 6х 4
3х2 + 8х + 4
3) 3(2х3 + 6х2 + 3х – 2) = 6х3 + 18х2 + 9х – 6 3х2 + 8х + 4
6х3 16х2 8х 2х +
2х2 + х – 6
4) 3х2 + 8х + 4 х + 2
3х2 6х 3х + 2
2х + 4
2х + 4
0
Следовательно, многочлен (х + 2) является НОД числителя и знаменателя данной дроби. При этом,
х4 + 3х3 + 3х2 + 3х + 2 х + 2
х4
2х3
х3 + 3х2 + 3х + 2
х3 2х2
х2 + 3х + 2
х2 2х
х + 2
х 2
0
х4 + х3 – 3х2 + 4 х + 2
х4 +2х3 х3 – х2 – х + 2
– х3 – 3х2 + 4
± х3 ± 2х2
– х2 + 4
± х2 ± 2х
2х ± 4
2х + 4
0
Таким образом,
Ответ:
Упражнения
Сократить дроби
1. Ответ: .
2. Ответ:
3. Ответ:
4. Ответ:
5. Ответ:
§3. Нахождение НОД двух натуральных чисел
Число является частным случаем многочлена. Поэтому, алгоритм нахождения НОД двух натуральных чисел не отличается от рассмотренного алгоритма определения НОД двух многочленов. При этом, большее из заданных чисел становится делимым, а меньшее – делителем. И, подобно тому, как признаком отсутствия НОД двух многочленов является появление остатка в виде числа неравного нулю – тривиального делителя любого многочлена, признаком отсутствия НОД двух натуральных чисел является появление 1 в остатке – тривиального делителя любого натурального числа.
Пример №1
Найти НОД двух чисел 323 и 247
Решение
1) 323 247 2) 247 76 3) 76 19
247 1 228 3 76 4
76
Ответ: НОД 323; 247 = 19.
Пример №2
Найти НОД двух чисел 323 и 107
Решение
1) 323 107 2) 107 2
321
3
2
Ответ: НОД 323; 107 не существует.
Упражнения