Доказательство и опровержение

Оглавление

Доказательство 3

Опровержение 10

Список литературы: 15

Доказательство

 В умозаключении мы приходим к выводу из посылок, причем иногда мы совсем не знаем, к какому именно выводу приведут данные посылки, то есть вывод в принципе может быть совершенно неожиданным. 
Но очень часто люди сталкиваются с другого рода задачей, когда имеется то или иное определенное суждение и нужно обосновать его истинность. Это можно сделать разными способами, в частности, например, подобрать такие посылки, из которых данное положение будет с необходимостью вытекать.      Доказательство — логическая форма мысли, обосновывающая истинность того или иного положения посредством других положений, истинность которых уже обоснована или самоочевидна. В доказательстве истинность того или иного суждения обосновывается обращением не к действительности, как это принято в обыденной повседневной практике, а к другим суждениям, истинность которых уже известна. Доказательство — это подлинно опосредованная мыслями форма отражения действительности, более оперативная и эффективная, поскольку манипуляция мыслями о предметах значительно проще манипуляции самими предметами; поскольку логические связи между мыслями обнаружить значительно легче, чем обнаруживать связи между самими предметами, наконец - логическими связями удобно пользоваться. Аристотель называет доказательством силлогизм, который дает знание. А силлогизмом, который дает знание, такой, посредством которого мы вещь знаем потому, что мы его имеем. Поэтому, если знание понять так, как мы приняли, то необходимо, чтобы и доказывающая наука основывалась на положениях истинных, первичных, неопосредствованных, более известных и предшествующих (доказываемому), и на причинах, в силу которых выводится заключение

     Началом же доказательства является неопосредствованная посылка, а неопосредствованной является такая, которой не предшествует никакая другая. Посылка же есть одна из частей высказывания, в котором нечто одно приписывается другому. Диалектическая посылка есть та, которая одинаково берет одну из двух частей противоречия; доказывающая — которая одну (из них) определенно берет за истинную. Высказывание же есть та или другая часть противоречия, а противоречие — такое противоположение, которое само по себе не имеет ничего среднего. Та из частей противоречия, которая что-то приписывает чему-то, есть утверждение, та же (часть), которая что-то устраняет (от чего-то), — отрицание.

   Всякое доказательство включает в себя по крайней мере три элемента.

Тезис –  утверждение, истинность которого обосновывается в процессе доказательства.

Аргументы (или  основания) – утверждения, с помощью  которых обосновывается истинность тезиса.

Демонстрация (или форма) доказательства – логическая связь аргументов с тезисом.

   Следует обратить внимание на то, что аргументы в доказательстве выступают как посылки умозаключения, из которых выводится тезис. Если посылки истинны и логический вывод не содержит ошибок, то полученное следствие всегда будет истинным. Вот так и достигается обоснование истинности тезиса: мы показываем, что наш тезис логически следует из известных истинных утверждений. В доказательствах различают три стороны: во-первых, доказываемое, то есть заключение,— то, что какому-нибудь роду предметов присуще само по себе; во-вторых, основные положения, те положения, на основании которых ведется доказательство; в-третьих, род в качестве подлежащего, состояния которого и его случайные признаки, сами по себе присущие ему, раскрывает доказательство. Следовательно, положения, на основании которых ведется доказательство, могут быть одними и теми же, но в науках, род которых различен, как, например, род арифметики и геометрии, не годится арифметическое доказательство для случайных (свойств) величин, если только (эти) величины не являются числами

Расширяется доказательство не посредством  средних терминов, но посредством добавления, например, А приписывается Б, Б — В, а В — Д, и так далее до бесконечности. Доказательство расширяется и в сторону, как, например, А приписывается и В и Е, например, есть такое-то или также неопределенное число, скажем, А, такое-то нечетное число — Б, а В— нечетное число; тогда А правильно приписывается В. Далее, пусть Д означает такое-то четное число, Е — четное число; тогда А правильно приписывается Е.

    Доказательства подразделяются на прямые и косвенные ( аналитические, или регрессивные).В прямом доказательстве тезис непосредственно следует из аргументов. Косвенное доказательство имеет более сложную структуру. К указанным выше элементам доказательства добавляют еще один элемент – антитезис, то есть утверждение, противоречащее тезису, а затем показывают, что он ложен. Это дает право утверждать, что тезис истинен. Иногда такое доказательство называют «доказательством от противного».

Допустим, необходимо доказать тезис «Чиновник Копилкин берет взятки». Напрямую такой тезис  доказать трудно, для этого необходимо схватить Копилкина за руку при получении  им взятки, а это отнюдь не легко  сделать. Поэтому приходится прибегать  к косвенному доказательству. Допустим, что Копилкин не берет взяток. Антитезис: «Чиновник Копилкин не берет взяток». Теперь нужно показать, что этот антитезис ложен. Показываем, что  следствия, вытекающие из антитезиса, противоречат хорошо известным фактам, т.е. ложны. Если верно, что Копилкин не берет взяток, то отсюда следует, что он со своей семьей живет на зарплату. Зарплата его известна и  невелика, ее едва может хватить  на самое насущное. Следовательно, Копилкин не может купить «мерседес», не может  построить особняк, не может послать  свою дочь учиться в Сорбонну. Однако всем известно, что у Копилкина имеется «мерседес», загородный многоэтажный особняк, а его дочь вот уже который год учится в Сорбонне и живет в Париже. Следовательно, предположение о том, что он не берет взяток, ошибочно, т.е. антитезис ложен. В таком случае признается истинным тезис: «Чиновник Копилкин берет взятки».

Косвенное доказательство имеет более сложную структуру  по сравнению с прямым, оно требует обращения к дополнительному знанию, поэтому при косвенном доказательстве возрастает риск ошибки. Оно менее надежно и убедительно, чем прямое доказательство.

     Анализируя каждый элемент структуры доказательства, логика сформулировала для них определенные правила, выступающие законами доказательства, соблюдение которых, в конечном счете, гарантирует не только структурную правильность доказательства, но и необходимую истинность обосновываемого тезиса, естественно, при истинности аргументов. Нарушения правил приводят к алогизмам. Сознательное нарушение правил — это софизм, нечаянное, непредумышленное нарушение — паралогизм.

Правила тезиса:

1. Тезис должен  быть четко и ясно сформулирован, без расплывчатости, двусмысленности, противоречивости.

2. Тезис на  всем протяжении доказательства  должен оставаться одним и тем же, самим собой.

В доказательстве главная задача — по тезису найти аргументы.

Эти простые  требования логики наиболее эффективно могут быть использованы лишь специалистами  в своих предметных областях

Наиболее  типичными ошибками, связанными с  нарушением правил тезиса, являются ошибки под названием "подмена тезиса", "слишком широкое доказательство", "слишком узкое доказательство", "довод к публике", "довод  к человеку" и т. п.

Правила аргументов (оснований):

1. Аргументы  должны быть положениями истинными.

2. Истинность  аргументов должна быть независимой  от тезиса.

3. Аргументы  должны являться достаточным  основанием для тезиса, должны  с необходимостью обосновывать  тезис; тезис из аргументов  должен следовать по законам  логики, с необходимостью.

Очевидно, что  и эти требования логики — просты и ясны до банальности. Тем не менее, не всегда так просто определить, какие же положения бесспорно истинны, какие же положения могут безусловно выступать в качестве аргументов, какие положения могут выполнять роль оснований для того или иного тезиса. Ошибок, связанных с нарушением правил аргументов, много — "ложный аргумент", "ложное основание", "основное заблуждение", "предвосхищение основания", "круг в доказательстве", "не следует, не вытекает", "от сказанного в относительном смысле, к сказанному в абсолютном смысле" и наоборот, и др. " Царь Египта Псамметих решил установить, какие люди древнейшие на свете. "Поэтому он придумал вот что. Царь велел отдать двоих новорожденных младенцев (от простых родителей) пастуху на воспитание среди стада (коз). По приказу царя никто не должен был произносить в их присутствии ни одного слова. Младенцев поместили в отдельной пустой хижине, куда в определенное время пастух приводил коз и, напоив детей молоком, делал все прочее, что необходимо. Так поступал Псамметих и отдавал такие приказания, желая услышать, какое первое слово сорвется с уст младенцев после невнятного детского лепета. Повеление царя было исполнено. Так пастух действовал по приказу царя в течение двух лет. Однажды, когда он открыл дверь и вошел в хижину, оба младенца пали к его ногам и, протягивая ручонки, произносили слово "бекос". Пастух сначала молча выслушал это слово. Когда затем при посещении младенцев для ухода за ними ему всякий раз приходилось слышать это слово, он сообщил об этом царю; а тот повелел привести младенцев перед свои царские очи. Когда же сам Псамметих услышал это слово, то велел расспросить, какой народ и что именно называет словом "бекос", и узнал, что так фригийцы называют хлеб. Отсюда египтяне заключили, что фригийцы еще древнее их самих". (Геродот. История. М., 1972. С. 80—81). Аргументом в этом "исследовании" служила сформированная в сознании Псамметиха еще до этого жестокого "эксперимента" установка, что первое слово любого ребенка, изолированного от влияния общества, будет и первым словом человечества. Это типичное "предвосхищение основания", "основное заблуждение. Частным случаем ошибки «не следует» является так называемый «аргумент к человеку» когда доказывают не по существу выдвигаемого положения, а ссылаются на личные качества человека. Иногда в процессе доказательства выдвигают такие аргументы, которые по существу противоречат тезису. Ошибкой, относящейся к аргументам, является так называемый «круг в доказательстве». Чтобы избежать такой ошибки, нужно следить за тем, чтобы истинность аргументов обосновывалась независимо от истинности тезиса. Наконец, ошибка может быть допущена в самом ходе доказательства, то есть в умозаключении, связывающем аргументы с тезисом. В этом случае даже при соблюдении всех правил, относящихся к тезису и аргументам, доказательство будет неправильным. Рассмотрим такое доказательство: 
Тезис: некоторые слова, не изменяющиеся по временам, обозначают признак предмета. 
Аргументы: 
1. Все прилагательные обозначают признак предмета. 
2. Ни одно прилагательное не является словом, изменяющимся по временам. 
В результате соединения обоих аргументов получаются посылки категорического силлогизма, из которого делается вывод: «некоторые слова, не изменяющиеся по временам, не обозначают признак предмета». Из этого суждения выводится то положение, которое требуется доказать: «некоторые слова, не изменяющиеся по временам, обозначают признак предмета». 
В этом доказательстве тезис не подменяется, аргументы истинны, обоснованы независимо от тезиса и представляют достаточное основание истинности тезиса, то есть все правила тезиса и аргументов соблюдены. Тем не менее, доказательство не правильно. Неправильность эта заключается в том, что в умозаключении, которое связывает аргументы с выводом, допущены две логические ошибки. Во-первых, в категорическом силлогизме больший термин «слова, обозначающие признак предмета» распределен в заключении и не распределен в посылке. Во-вторых, из истинности частноотрицательного суждения выводится истинность частноутвердительного, что также неправильно. Следовательно, совпадение вывода с тезисом случайно, тезис по существу не обоснован. 
В таком случае, может быть, этот тезис вообще нельзя доказать с помощью данных аргументов и неправильность доказательства связана не только с ошибкой в умозаключении, но и с нарушением требования достаточного основания? Нет, тезис здесь логически вытекает из аргументов. В самом деле. Изменив отрицательную меньшую посылку силлогизма, получим суждение «все прилагательные являются словами, не изменяющимися по временам». Затем с помощью правильного силлогизма делаем вывод, который и будет тезисом нашего доказательства. Но чаще всего ошибка в умозаключении бывает связана с ошибкой, относящейся к тезису и аргументам. Тезис часто подменяется тогда, когда аргументы не являются достаточным основанием его истинности. Если же при таких аргументах подмены тезиса не происходит, то обязательно нарушаются те или иные правила умозаключений.

    Универсальным и гибким приемом доказательства является аналогия, которую можно применять к самым разнообразным случаям. Пусть мы имеем рассуждение: «Все планеты вращаются вокруг Солнца, следовательно, все тела, вращающиеся вокруг Солнца, — планеты». Берем другое рассуждение, аналогичное первому по своей структуре, но имеющее вывод, истинность или ложность которого очевидна, например, «все воробьи — птицы, следовательно, все птицы — воробьи». Рассуждение это явно неправильно, следовательно, неправильно и аналогичное ему первое рассуждение. Метод аналогии связан с необходимостью придумывать в каждом отдельном случае какой-то пример для сравнения, что удается далеко не всем и не всегда. К тому же применение аналогии без знания ее правил может привести к ошибочной аналогии. В результате сама проверка правильности рассуждения окажется неправильной. Применяя аналогию, нужно строго следить за тем, чтобы логическая форма того рассуждения, которое берется для сравнения, в точности совпадала с формой того рассуждения, правильность которого проверяется. Так, вывод «квадрат является равносторонним четырехугольником, следовательно, всякий равносторонний четырехугольник есть квадрат» является, несомненно, правильным. По аналогии с ним строится рассуждение «квадрат является фигурой с взаимно-перпендикулярными диагоналями, следовательно, всякая фигура с взаимно-перпендикулярными диагоналями есть квадрат». Однако ромб имеет взаимно-перпендикулярные диагонали, но ромб — это не квадрат. Следовательно, аналогия является неправильной. Почему? Потому что для сравнения взяты рассуждения, логически различные: в первом случае имеется общеутвердительное суждение, являющееся определением, поэтому его можно обращать в общеутвердительное; во втором случае — общеутвердительное суждение, не являющееся определением, поэтому его можно обращать только в частно-утвердительное: «некоторые фигуры с взаимно-перпендикулярными диагоналями — квадраты». 
Из действий с доказательством, или над доказательством, как определенной формой мысли, определенной мыслительной структурой, наиболее известно всего лишь одно - отрицание его. Отрицание доказательства называется опровержением.

Опровержение

  Опровержение — это обоснование ложности или несостоятельности того или иного элемента доказательства, а иногда и доказательства в целом. Многие свойства опровержения определяются свойствами доказательства, потому что опровержение структурно мало чем отличается от доказательства. Опровержение может быть направлено против тезиса доказательства, против аргументов его, против демонстрации. Опровергая тезис, опровержение необходимо формулирует антитезис; опровергая аргументы - выдвигает другие; опровергая демонстрацию доказательства - показывает (демонстрирует) своей структурой строгое соблюдение логических связей между своими аргументами и антитезисом. Например, существовало утверждение «нельзя переплыть на плоту через Тихий океан». Норвежский ученый Тор Хейердал опроверг это утверждение, переплыв со своими спутниками Тихий океан на плоту. Но доказательство ложности какого-либо утверждения является вместе с тем доказательством истинности противоречащего ему утверждения. Опровергнув утверждение «Тихий океан нельзя переплыть на плоту», Тор Хейердал доказал тем самым истинность утверждения «Тихий океан можно переплыть на плоту». Поэтому опровержение можно рассматривать как частный случай доказательства. 
Обоснование истинности антитезиса можно рассматривать и как доказательство антитезиса, и как опровержение тезиса. Зато обоснование несостоятельности аргументов еще не доказывает ложности самого тезиса, а лишь указывает на ложность или недостаточность приведенных аргументов для обоснования тезиса, лишь отвергает их: вполне возможно, что таких аргументов много, но по разным причинам они в доказательстве не использовались. Таким образом, опровержение аргументов назвать антидоказательством не всегда возможно.Так же и с опровержением демонстрации. Обосновывая неправильность (нелогичность, ошибочность) связи тезиса с аргументами, или связи между аргументами в доказательстве, мы лишь указываем на нарушение логики, но этим не отрицаем сам тезис, не отрицаем сами аргументы. И то, и другое может оказаться вполне приемлемым, стоит лишь найти более правильные непосредственные или опосредованные связи между ними. Поэтому, не всякое опровержение можно называть опровержением доказательства в целом, точнее, не всякое опровержение отбрасывает доказательство в целом. И это следует иметь в виду при определении опровержения.

Соответственно  видам опровержения (опровержение тезиса, опровержение аргументов и опровержение демонстрации) можно указать и  способы опровержения, которые используются в них. Так, тезис может быть опровергнут  путем доказательства антитезиса и  путем выведения следствий из тезиса, противоречащих действительности. Аргументы могут быть опровергнуты как путем обоснования их ложности (аргументы  только кажутся истинными, или некритически принимаются за истинные), так и путем обоснования того, что для доказательства тезиса приведенных аргументов мало. Опровержение можно осуществить и путем обоснования того, что используемые аргументы сами нуждаются в обосновании. Ну и, наконец, опровержение можно осуществить и путем установления того, что источник фактов (оснований, аргументов) для обоснования тезиса является недостоверным, недоброкачественным: фальшивые документы, псевдолетописи, подделанные мемуары и пр.

Способов  опровержения демонстрации, в силу множества самих правил демонстрации, достаточно  много. Опровержением  в этом случае будет указание на нарушение любого правила посылок  категорического силлогизма при  связи их между собой; указание на нарушение связи их с тезисом; указание на нарушение правил фигур  категорического силлогизма и их модусов; указание на нарушение правил условного и разделительного  силлогизмов и многое другое.

Подмена тезиса особенно часто наблюдается при  опровержениях, когда обосновывается не истинность, а ложность какого-либо утверждения. В этих случаях очень  часто опровергается совсем не то, что нужно опровергнуть. 
Подмена тезиса при опровержении довольно часто наблюдается и в обыденной жизни. Нередко можно услышать разговор такого типа: 
А. Книгу, которая нам нужна, могут до завтра продать, так что пойдем в книжный магазин сегодня. 
Б. Нет, ее продать не могут. 
На следующий день книга оказалась непроданной, По этому поводу Б. замечает: «Вот видишь, а ты говорил, что ее продадут». 
Тот факт, что книгу не продали, опровергает утверждение «книгу обязательно продадут». Но А. утверждал только, что книгу могут продать, и это утверждение фактом наличия книги не опровергается. Утверждая обратное, Б. подменяет один тезис другим. 
Опровержением называют установление ложности или необоснованности выдвинутого тезиса.

Цель опровержения – разрушить выдвинутое доказательство. Доказательство может существовать без опровержения: вы доказали некоторый  тезис, и все согласились с  вашим доказательством. Опровержение же всегда носит вторичный характер: сначала нужно что-то утверждать, что-то доказать – только тогда появляется материал для опровержения. Как это  и бывает в повседневной жизни: нельзя разрушить то, чего еще нет; сначала  нужно что-то построить, а уж потом  – разрушить.