Контрольная работа по "Концепции современного естествознания"

Принцип Анри Пуанкаре

Гипотеза (иногда называемая задачей/принципом) французского математика Анри Пуанкаре (1854...1912 гг.) формулируется так: любое  замкнутое односвязное трехмерное пространство гомеоморфно трехмерной сфере. Если натянуть резиновую ленту  на яблоко, то можно, медленно перемещая  ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту  соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая  бублик. Говорят, что поверхность  яблока "односвязна", а поверхность  бублика - нет. Пуанкаре почти сто  лет назад знал, что в двумерном  случае односвязна только сфера, и задался  аналогичным вопросом для трехмерной сферы - множества точек в четырехмерном  пространстве, равноудаленных от некоторой  точки. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики до сих пор ищут ответ.

Будем чуточку  более формальны. Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которые не делят  ее на две части. Сфера (поверхность  апельсина) односвязна: как ни проводи  на ней замкнутую кривую, кусочек  вырежется; а вот поверхность  бублика двусвязна - ее можно, например, разрезать поперек, превратив в  цилиндр, но сохранив целостность (а  вот повторно разрезать цилиндр  уже не получится). Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в  поверхности есть k-1 "дырка". В  общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией  стянуть в точку. Интуитивно очевидно, например, что поверхность бублика  этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).

Другое  важное понятие - гомеоморфизм - также  уже встречается в рассуждениях о неразличимости чашки и бублика. Именно в этой неразличимости и дело: гомеоморфизм - это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть  множество, сохранив при этом его  топологические свойства (например, k-связность). Чашку легко непрерывным преобразованием  превратить в бублик, а апельсин - в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты (об инвариантах я уже  рассказывал в статье, посвященной  гипотезе Ходжа), такие, как число k. Два множества, которые можно  гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются  эквивалентными.

Гипотеза  Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность  гомеоморфна трехмерной сфере. Хочу обратить особое внимание на то, что "трехмерная поверхность" может размещаться  в пространстве, чья размерность  как минимум 4! Трехмерная сфера - это  поверхность четырехмерного шара (привычная  нам двухмерная сфера - поверхность  трехмерного шара). Все началось с исследований, которые Пуанкаре вел в области алгебраической геометрии. Он работал над одним  из краеугольных камней этой науки - теорией  гомологий, особого класса топологических инвариантов. В 1900 году он опубликовал  статью, в которой доказывал, что  если у трехмерной поверхности гомология  совпадает с гомологией сферы, то и сама поверхность - сфера; на самом  деле это утверждение даже более  сильное, чем утверждение гипотезы Пуанкаре.

Однако  в его рассуждения вкралась ошибка, которую он сам и нашел, к 1904 году разработав важнейшее понятие фундаментальной  группы и построив на его базе контрпример  к собственной теореме. Тогда  же он наконец-то поставил вопрос правильно.

Достаточно  долго на гипотезу не обращали внимания. Интерес к ней пробудил Генри  Уайтхед[Джон Генри Константин Уайтхед (J.H.C. Whitehead, 1904–1960) - выдающийся английский математик, один из основателей теории гомотопий. Не следует его путать с его собственным дядей Альфредом  Уайтхедом, тоже математиком, но специализировавшимся на логике и алгебре, соавтором Бертрана Рассела по знаменитой книге Principia Mathematica], который в 1930-е годы объявил о  том, что нашел доказательство. Как  вы уже догадались, его доказательство также было неверным. Однако в процессе поиска и попыток исправить свои неточности он обнаружил интереснейшие  классы трехмерных поверхностей и значительно  продвинул теорию, которая позднее  получила название топологии малых (или низших) размерностей. В пятидесятые  и шестидесятые годы всплеск интереса к проблеме вновь породил несколько  ошибочных заявлений о том, что  теорему удалось доказать, и после  этого математики наконец-то поняли, что гипотезу Пуанкаре так просто не возьмешь: с шестидесятых годов  и до работ Григория Перельмана ложные доказательства предъявляли только любители (таких всегда достаточно; не присоединяйтесь к их числу).

Топология низших размерностей стала отдельной  ветвью математики по удивительной причине - в многомерном случае все гораздо  проще! Уже в 50-е и 60-е годы утверждения, аналогичные гипотезе Пуанкаре, были доказаны для более высоких размерностей. Трехмерный же случай продолжал оставаться камнем преткновения.

Доказательство  Григория Перельмана основано на идеях, которые развил в начале 1980-х годов  Ричард Гамильтон (Richard Hamilton). Эти идеи неожиданным образом выводят  топологические заключения из фактов о дифференциальных уравнениях - так  называемых потоках Риччи (Ricci flows), обобщающих уравнения термодинамики. Впрочем, в доказательстве Перельмана долгое время не могли разобраться ведущие  топологи мира. Почти 100 лет назад  Пуанкаре установил, что двумерная  сфера односвязна, и предположил, что трехмерная сфера тоже односвязна. Доказать эту гипотезу не могли с  тех пор.

Закон дивергенции

Наиболее  часто в ходе эволюции мы наблюдаем  дивергенцию или расхождение  признаков у видов, происходящих от общего предка. Дивергенция начинается на популяционном уровне, Она обусловлена  различиями в условиях среды, в которых  обитают и к которым по-разному  приспосабливаются под действием  естественного отбора дочерние виды. Определенную роль в дивергенции  играет и дрейф генов. Дивергенция  обусловливает увеличение числа  видов и продолжается на уровне надвидовых таксонов. Именно дивергентной эволюцией  обусловлено поразительное разнообразие живых существ.

Ярким примером дивергенции может служить изменение  конечностей млекопитающих в  ходе их приспособления к разным условиям среды. Рука человека, крыло летучей  мыши, копыто лошади, лапа медведя, ласта  морского льва, плавник кита – это  все результаты дивергенции. Они  возникли путем длительного естественного  отбора мелких случайных уклонений  в строении передней конечности общего предка млекопитающих. Его потомки  заняли со временем разные экологические  ниши. Этот процесс направлялся естественным отбором. В ходе эволюции накапливались  изменения в генах, контролирующих детали развития конечностей, но начальные  стадии их формирования в онтогенезе каждого из столь разных видов  очень сходны и регулируются сходными генами. Структуры и органы, имеющие  общее происхождение называют гомологичными. Гомология конечностей у позвоночных  столь выражена, что сходные элементы прослеживаются спустя сотни миллионов  лет после начала дивергенции.

С развитием  молекулярной генетики и расшифровкой отдельных генов и целых геномов  стало ясно, что дивергенция –  это основное направление эволюции. Было показано, например, что различия в формировании конечностей у  разных таксонов позвоночных (рыб, птиц, млекопитающих) обусловлены дивергенцией основных генов, направляющих этот процесс. Появилась возможность выяснить, какой из факторов эволюции обусловливал дивергенцию тех или иных элементов  генов на разных этапах эволюции. Гены, контролирующие давно сложившиеся  функции, например, гены домашнего хозяйства, дивергировали очень медленно, находясь под постоянным давлением стабилизирующего отбора. При этом дивергенция, как  правило, ограничивалась нейтральными, синонимическими заменами нуклеотидов  и, следовательно, была обусловлена  дрейфом генов. В то же время дивергенция  эволюционно молодых генов имела  явно приспособительный характер. Например, эволюция генов опсинов – фоторецепторов сетчатки глаза - была сопряжена с  большим количеством несинонимических замен нуклеотидов. Это привело  к расширению спектра воспринимаемых цветов. В данном случае дивергенция  на уровне генов направлялась естественным отбором.

В явлениях самой различной природы важнейшую  роль играют классы механизмов эволюции; среди них можно выделить катастрофические, или пороговые, и адаптационные. Адаптационный механизм эволюции –  это логическая цепочка, которая  приспосабливает данную систему (или  организм) к окружающей среде. Адаптация  обеспечивает развивающейся системе  определённую стабильность в данных конкретных условиях. Поэтому, изучая особенности среды, можно предвидеть тенденцию в изменении параметров системы.

Действие  пороговых механизмов состоит в  том, что существует некоторое критическое  значение внешнего воздействия, выше которого прежняя форма уже существовать не может. Переход системы через  это пороговое состояние ведёт  к резкому качественному изменению  протекающих в ней процессов. При этом заранее невозможно предсказать, по какой ветви эволюции пойдёт развитие дальше, т.к. это зависит от неизбежно  присутствующих случайных воздействий  внешней среды.

Суть  закона дивергенции заключается  в следующем: процесс развития характеризуется  непрерывным усложнением и ростом разнообразия организационных форм материи. Сам термин «дивергенция»  в переводе означает расхождение. Здесь  имеется в виду расхождение признаков  и свойств у первоначально  близких групп организмов в процессе эволюции. Это результат неодинаково  направленного естественного отбора и обитания в разных условиях среды. Закон дивергенции характерен для  всех трёх форм развития материального  мира: он действует в мире неживой  природы, эволюции живых существ  и обществе. С ростом сложности  системы возрастает вероятность  увеличения числа возможных путей  дальнейшего развития, т.е. дивергенции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

 

1. Аверьянов В. А. Пути развития науки, 37-42.
2. Великие преобразователи естествознания: Анри Пуанкаре // Тез. докл. XYII международных чтений, Минск 28-29 ноября 2001г. - Минск: БГУ, 2001. - 272с.
3. Габрусь И. Ф. Новым реалиям новые концепты, 144-148.
4. Дыбов А.М., Иванов В.А., «Концепции современного естествознания», Учебное пособие, Издание второе, исправленное и дополненное, 1998г.
5. Кузнечик О. П. Анри Пуанкаре и теория относительности, 70-73
6. Николенко С., «Проблемы 2000 года: гипотеза Пуанкаре», Опубликовано в журнале "Компьютерра" №1-2 от 18 января 2006 года.
7. Утробин И. С. Об особенностях современного естествознания как фрагмента культуры, 22-23.