Характеристики системы передачи сообщений

 

В итоге получаем 0, значит, кодовая комбинация была записана верно.

Информационные разряды: 1,3,5,7,8,9,10,11.

Проверочные разряды: 1, 2, 4, 8.

4. Число двоичных  символов, выдаваемых кодером в  единицу времени Vn:

                                                                                     (3.4)    

Длительность двоичного символа T:          

                                                                                          (3.5)

 

 

4. Модулятор

В модуляторе синхронная двоичная случайная последовательность биполярных импульсов b(t) осуществляет модуляцию гармонического переносчика.

Требуется:

1. Записать аналитическое выражение модулированного сигнала U(t)=φ(b(t)).

2. Изобразить временные диаграммы модулирующего b(t) и модулированного U(t) сигналов, соответствующие передаче j-го уровня сообщения a(t). Считать, что модуляция осуществляется, начиная с младших бит (b1, b2 и т.д.)

3. Привести выражение и начертить график корреляционной функции модулирующего сигнала kb(τ).

4. Привести выражение и начертить график спектральной плотности мощности модулирующего сигнала Gb(f).

5. Определить ширину энергетического спектра модулирующего сигнала ΔFb из условия ΔFb = αVn (где α выбирается в пределах от 1 до 3). Отложить полученное значение ΔFb на графике Gb(f).

6. Привести выражение и построить график энергетического спектра GU(f) модулированного сигнала.

7. Определить ширину энергетического спектра ΔFU модулированного сигнала и отложить значение ΔFU на графике GU(f).

 Решение

4.1. Аналитическое выражение для ЧМ модулированного сигнала

   (4.1)

 (4.2)

4.2. Временные диаграммы модулирующего b(t) и модулированного U(t) сигналов, соответствующие передаче j-го уровня сообщения a(t)

Рисунок 3 - Временные диаграммы модулирующего b(t) и модулированного U(t) сигналов, соответствующие передаче j-го уровня сообщения a(t)

4.3. Выражение корреляционной функции модулирующего сигнала

            (4.3)

Рисунок 4 - Корреляционная функция модулирующего сигнала

 

4.4. Выражение спектральной плотности мощности модулирующего сигнала

          (4.4)

Рисунок 5 - График спектральной плотности мощности модулирующего сигнала

.

 

4.5. Определим ширину энергетического спектра модулирующего сигнала ∆FB из условия ∆FB=αVn (где α выбирается в пределах от 1 до 3). Отложим полученное значение ∆FB на графике .

α=1

            (4.5)

4.6. Приведём выражение и построим график энергетического спектра модулированного сигнала.

В результате модуляции исходный спектр сдвигается на частоту модулируемого колебания (несущей). Зная энергетический спектр модулирующего сигнала, легко найти энергетический спектр амплитудно-модулированного сигнала. Энергетический спектр амплитудно-модулированного сигнала GАМ(f) будет содержать δ – функцию на частоте f = f0 и верхнюю и нижнюю боковые полосы. Наличие  δ – функции в энергетическом спектре отражает наличие несущей частоты при амплитудной модуляции. Форма верхней боковой полосы энергетического спектра АМ сигнала совпадает с формой энергетического спектра модулирующего сигнала b(t), а форма нижней – совпадает с зеркальном спектром сигнала b(t).

Для нахождения энергетических спектров сигналов ФМ, ОФМ и ЧМ можно воспользоваться результатами, полученными при АМ, представляя эти колебания как сумму двух АМ сигналов.

Энергетические спектры сигналов ФМ и ОФМ одинаковы и качественно отличаются  от  энергетического  спектра  АМ  сигнала  тем,  что  не  содержат       δ – функцию, так как при модуляции фазы сигнала на 1800 в спектре ФМ и ОФМ сигналов не содержится несущего колебания.

В результате модуляции исходный спектр сдвигается на частоту модулируемого колебания (несущей) f0=100*Vn Гц.

           (4.6)

  (4.7)

Рисунок 6 - Спектр модулированного сигнала GU(f).

4.7. Определим ширину энергетического спектра ∆Fu модулированного сигнала и отложим значение ∆Fu на графике Gu(f).

 Гц.   (4.8)

 

 

 

5. Канал связи

Передача сигнала U(t) осуществляется по каналу с постоянными параметрами и аддитивным флуктуационным шумом n(t) с равномерным энергетическим спектром N0/2 (белый шум).

Сигнал на выходе такого канала можно записать следующем образом:

                                                 z(t) = U(t) + n(t);                                             (5.1)

Требуется:

1. Определить мощность шума в полосе частот Fk = ΔFU;

2. Найти отношение сигнал – шум Pc/Pш;

3. Найти пропускную способность канала С;

4. Определить эффективность использования пропускной способности канала Kc.

Решение:

5.1. Мощность шума в полосе частот Fk = ∆Fu .

 В2.     (5.2)

5.2. Отношение сигнал – шум  Рс /Рш.

               (5.3)

            (5.4)

            (5.5)

В2            (5.6)

           (5.7)

 

5.3. Пропускная способность канала С.

Пропускная способность – количество данных, которое может быть переслано по каналу за одну секунду. Обычно измеряется в битах в секунду.

           (5.8)

- формула Шеннона для пропускной  способности непрерывного гауссовского  канала с ограниченной полосой  частот и ограниченной средней  мощностью сигнала.

 бит/с.  (5.9)

5.4. Эффективность использования пропускной способности канала Кс.

Теорема Шеннона для дискретного канала связи

,            (5.10)

 бит/с.         (5.11)

 

 

 

6. Демодулятор.

          В демодуляторе осуществляется оптимальная когерентная обработка принимаемого сигнала.

Требуется:

1. Записать алгоритм  оптимального приема по критерию  минимума средней вероятности  ошибки при равновероятных символах  в детерминированном канале с  белым гауссовским шумом.

2. Нарисовать структурную схему оптимального демодулятора для заданного вида модуляции и способа приема.

3. Вычислить вероятность  ошибки Pош оптимального демодулятора.

Решение:

Рисунок 9 - Канал с аддитивным гауссовским шумом.

Сигнал на выходе такого канала

           (6.1)

где s(t) – выходной сигнал,

u(t) – входной,

g – постоянный коэффициент передачи канала,

N(t) – гауссовский аддитивный шум с нулевым математическим ожиданием и заданной корреляционной функцией.

6.1. Алгоритм оптимального приема по критерию минимума средней вероятности ошибки при равновероятных символах в детерминированном канале с белым гауссовским шумом.

В демодуляторе осуществляется оптимальная когерентная обработка принимаемого сигнала z(t) = U(t) + n(t).

,         (6.2)

.         (6.3)

Для частотной модуляции

 

.             (6.4)

Следовательно,

,           (6.5)

.           (6.6)

6.2. Структурная  схема оптимального демодулятора для заданного вида модуляции и способа приема.

Рисунок 10 - Структурная схема оптимального демодулятора.

6.3. Вероятность ошибки Рош оптимального когерентного демодулятора для канала с аддитивным нормальным «белым» шумом при передаче двоичных сообщений определяется следующим выражением

,             (6.7)

где Ф(х) – функция Крампа.

   (6.8)

,            (6.9)

,        (6.10)

,        (6.11)

         (6.12)

 

 

7. Декодер

Требуется:

1. Обнаружить  и исправить ошибку в кодовой  комбинации. Считать, что ошибка  произошла в i-ом разряде;

2. Из кодовой  комбинации выделить информационные  символы, а затем преобразовать k-разрядную двоичную кодовую комбинацию в элемент квантованного сообщения.

Решение:

1. Для обнаружения  ошибки запишем кодовую комбинацию  с ошибкой и без ошибки.

Таблица 7.1  Кодовая комбинация

Позиция бита i	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Значение бита b(t) без ошибки	0	1	1	1	1	1	0	1	0	1	0	1
Значение бита b(t) с ошибкой	0	0	1	1	1	1	0	1	0	1	0	1

 

Просуммируем  коды позиций с ненулевыми битами.

Таблица 7.2 Нахождение ошибочного разряда 

01	0001
03	0011
05	0101
07	0111
08	1000
09	1001
10	1010
Сумма	1011

 

Число 1011 в десятичной системе равно 11, т.е. ошибка в 11-м бите, 11-й разряд нужно инвертировать.

Чтобы код позволял исправлять все ошибки в z позициях, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее расстояние между кодом и словами было:

                                                  (7.1)

Код исправляет одну ошибку, значит dmin = 3.

Оценим обнаруживающую способность q кода Хэмминга:

                                                    (7.2)

q = dmin–1 = 3 – 1 = 2.

Код исправляет 1 ошибку и обнаруживает 2.

3. Определим вероятность  необнаружения ошибки:

                                                                             (7.3)

где  n – число разрядов,

q – обнаруживающая способность кода Хэмминга,

P – вероятность ошибки в одном разряде,

- общее число различных выборок (сочетаний) объёма α:

                                                    .                                                 (7.4) 

.

Pно<1 – верно.

 

 

8. Фильтр-восстановитель.

Фильтр-восстановитель – фильтр нижних частот с частотой среза Fc.

Требуется:

1.   Указать величину Fc.

2.   Изобразить идеальные АЧХ  и ФЧХ фильтра-восстановителя.

3. Найти импульсную характеристика g(t) идеального фильтра-восстановителя и начертить ее график.

Решение:

1. Частота среза связана с  временем дискретизации Δt. Из теоремы Котельникова:

                                                                                         (8.1)

2. Изобразим идеальные АЧХ и  ФЧХ фильтра – восстановителя. Передаточная функция идеального  ФНЧ описывается следующей формулой:

                                                                                    (8.2)

где  ,

 – АЧХ

– ФЧХ

АЧХ для идеального фильтра:

                                 ;                             (8.3)

K0=1, ωср= , с-1

 

Рисунок 8.1 – Идеальная АЧХ фильтра – восстановителя

 

ФЧХ для идеального фильтра:

где τз - время задержки ( 10-4 – 10-5 c ).

Рисунок 8.2 – Идеальная ФЧХ фильтра–восстановителя