Метрология

6.1.1. Прямые многократные равноточные измерения и обработка их результатов.

Методы обработки результатов  измерений приведены в [1-3].

Пусть был получен  ряд измерений x₁, x₂,   ,x_n ,из которого исключены известные систематические погрешности. Число n зависит как от требований к точности, так и от реальной возможности проведения повторных измерений. При использовании прибора невысокой точности (в случае, когда преобладает систематическая погрешность) целесообразно ограничиться только одним измерением.

Однако на практике всегда остаются некоторые неисключенные  остатки систематических погрешностей. Их учет рассмотрен далее.

Последовательность  и этапы обработки данных:

Определение точечных оценок закона распределения  результатов измерений.

• среднего арифметического измеряемой величины = ;
• СКО результата измерений = = =  ;
• СКО среднего арифметического значения = / = .

Грубые погрешности исключаются. После чего повторно производится расчет. Иногда для более надежной идентификации закона распределения результатов могут определяться другие точечные оценки: коэффициент асимметрии, эксцесс и др.

При числе наблюдений n<15 принадлежность полученных в эксперименте данных нормальному закону не проверяется. При числе наблюдений 15< n <50 используется составной критерий, приведенный в ГОСТ 8.207-76, а также в [1-3].

Определение доверительных границ случайной  погрешности.

= / − в случае использования формулы Лапласа,

= / − в случае использования распределения Стьюдента.

Определение границ неисключенной систематической  погрешности  результата измерений.

Границы неисключенной  систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. При наличии нескольких систематических погрешностей НСП рассчитываются по формуле:

= k .

На практике чаще всего  задают доверительные вероятности P = 0,9 и P = 0,95. Для них коэффициенты k рекомендуется брать 0,95 и 1,1 соответственно, независимо от числа составляющих m. При доверительной вероятности P ≥ 0,99 значение k следует взять из [1-3]. Это значение зависит от числа m.

Доверительная вероятность  при определении границ q принимается равной доверительной вероятности, используемой при нахождении границ случайной погрешности.

Определение доверительных границ погрешности  результата измерения 

При проведении многократных измерений случайная погрешность  может быть уменьшена во много  раз. Погрешность усредненного результата будет определяться не зависящей от числа отсчетов систематической погрешностью.

Устанавлены правила  суммирования систематических и случайных погрешностей и определения границ погрешности ± .

Если границы неисключенной  систематической погрешности q и оценка СКО результата измерения S связаны соотношением

q < 0,8

,

причем оценки выполнены при одинаковой доверительной вероятности, следует пренебречь систематической составляющей погрешности. Доверительные границы погрешности результата:

= = / ,

t_p − коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности Р и числа проведенных измерений.

Если имеет местоq > 8 , то следует пренебречь случайной составляющей, и результат характеризовать лишь границами его суммарной систематической погрешности

= q.

Если неравенства не выполняются, т.е. 0,8 < q < 8 , границы погрешности результата измерений определяют по формуле:

= = , где = .

В [2] приведена упрощенная формула расчета погрешности:

= ,

где q − общая граница НСП, а − доверительная граница случайной погрешности. Погрешность расчета по такой формуле не превышает 5−10%.

Запись результата измерения.

Результата записывается в виде х = ± D при доверительной вероятности Р = Р_д . При отсутствии данных о функции распределения составляющих погрешности результаты измерений представляют в виде , , n , q при доверительной вероятности Р = Р_д.

6.1.2. Прямые многократные неравноточные измерения и обработка их результатов.

Часто проводятся неравноточные  измерения одной и той же физической величины: с различной точностью, либо разными приборами в различных  условиях, разными исследователями  и т.д.

Пусть имеются m серий равноточных измерений объемом n_i , СКО серии и среднее i-й серии. Тогда [2] наиболее вероятным значением величины будет средневзвешенное:

Пределы равноточных  измерений определяются в соответствии методом в разделе 1.2.1.

6.2. Однократные измерения и обработка их результатов.

Прямые многократные измерения в большой мере относятся  к лабораторным измерениям. Для производственных процессов более характерны однократные  измерения. Это самые массовые измерения. Однократные измерения возможны, если объем априорной информации такой, что модель объекта и определение измеряемой величины не вызывают сомнений, погрешности метода изучены либо устранены, средства измерения исправны и их метрологические характеристики соответствуют нормам.

За результат прямого  однократного измерения принимается  полученная величина. До измерения  должна быть проведена априорная  оценка составляющих погрешности. При  определении доверительных границ погрешности результата измерений доверительная вероятность принимается равной, как правило, 0,95.

Условия применения:

• составляющие погрешности известны;
• случайные составляющие распределены по нормальному закону;
• неисключенные систематические заданы своими границами q_i и распределены равномерно.

Составляющими погрешности  прямых однократных измерений являются:

• погрешности СИ, рассчитываемые по метрологическим характеристикам;
• погрешность метода измерений, определяемая на основе анализа в каждом конкретном случае;
• личная погрешность, вносимая конкретным оператором.

Если последние две  составляющие не превышают 15% погрешности  СИ, то остается только одна.

При наличии нескольких систематических погрешностей, заданных своими границами ±q_i , доверительная граница результата измерения может быть вычислена соответственно вышеописанной процедуре:

q(Р) = k                                                                     (1).

Однократные измерения  достаточны, если НСП (например, класс  точности СИ) заведомо больше случайной погрешности измерений, т.е. > 8.

В случае, когда  < 8 существенную роль играет случайная составляющая и однократные измерения недопустимы.

Если имеет место  случай 0,8 ≤  ≤ 8, то погрешность результатов измерения находят по эмпирической формуле:

= ].

Коэффициент находят в таблицах [1-3]. Он зависит от соотношения и доверительной вероятности P. Для P = 0.95 его можно взять из табл.

Табл. 2

 

q/Sx	0,8	1	2	3	4	5	6	7	8
K0,95	0,76	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,8	0,81

6.2.1. Однократные измерения c приближенным оцениванием результатов.

Прямые однократные  измерения с приближенным оцениванием погрешностей правомочны, если доказана возможность пренебрежения случайной составляющей погрешности измерения, т.е. среднее квадратическое отклонение S_x случайной составляющей меньше 1/8 суммарной границы неисключенных систематических составляющих погрешности результата измерения.

В простейшем случае, когда  влияющие величины соответствуют нормальным условиям, погрешность результата прямого  однократного измерения равна пределу  основной погрешности средства измерения D_си, определяемой по нормативно-технической документации.

Результат измерения  записывается как D =±D_си Доверительная вероятность не указывается, но, как правило, она равна 0,95. Если условия отличны от нормальных, необходимо учитывать пределы дополнительной погрешности.

6.3. Обработка результатов косвенных измерений.

Косвенные измерения  − это измерения, при которых  искомое значение A находят на основании известной функции , где − значения, полученные при прямых измерениях. Их обработка и представление результатов проводятся в зависимости от наличия или отсутствия связи (корреляции) при проведении этих измерений.

Подход к решению  задачи нахождения результата косвенных  измерений заключается в разложении функции f (достаточно гладкой) в ряд Тейлора в окрестности [1-3] и учете только членов первого порядка малости.

Оценка результата косвенного измерения:

,

где − оценка результата i − го аргумента.

Оценка СКО случайной  погрешности S( ) результата косвенного измерения вычисляется по формуле:

S(

) ≈ ,

где -1 < < 1 − оценка коэффициента корреляции между погрешностями аргументов и ;

 − так называемые коэффициенты  влияния i − го аргумента.

Корреляция между аргументами чаще всего возникает тогда, когда их измерения проводятся одновременно и подвергаются одинаковому влиянию внешних условий: температуры, влажности, помех и т.д. Точное определение обычно затруднено [1-3]. Часто рассматриваются случаи, когда имеется полная статистическая связь = 1 и ее полное отсутствие = 0.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения S( ), обусловленного случайными погрешностями, вычисляется по формуле:

S(

) = ,

где − среднее квадратическое отклонение результата измерения аргумента , рассчитанное по формуле = S / = , а − число измерений i− го аргумента.

Для случая косвенного измерения  при линейной зависимости между  аргументами:

= ,

где − постоянный коэффициент i− го аргумента , m − число аргументов.

S(

) = ,

Если  = k , и k, − константы, то определив частные производные по , подставив их в формулу для S( ) и разделив полученное выражение на , получим:

= = .

Здесь и − относительные среднеквадратичные отклонения случайных погрешностей результата измерения и i− го аргумента

Обычно считается, что случайные величины распределены по нормальному закону.

При большом числе  измерений (более 25-30) выполненных при  нахождении каждого аргумента, доверительную границу случайной погрешности результата косвенного измерения определяют по формуле

e(P) = z_p S(

),

здесь z_p – квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р.

При меньшем числе  измерений используется распределение  Стьюдента, число степеней свободы  которого рассчитывается по приближенной формуле:

k =

,

где n_i - число измерений при определении аргумента . В этом случае доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения

e(P) = t_pS(

),

где t_p - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р = 1-q и числу степеней свободы k.

Систематическая погрешность  результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов  измерений аргументов. При измерениях их стараются исключить. До конца это сделать не удается; всегда остаются неисключенные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины, имеющей равномерное распределение. Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения q(Р), в случае, когда неисключенные систематические погрешности аргументов заданы границами q_i равны:

q(Р) = k

где k - поправочный множитель, определяемый принятой доверительной вероятностью Р и числом m составляющих q_i .Его значения приведены в таблице   .

Значения коэффициента k при m > 4

Табл. 3

P	0,90	0,95	0,98	0,99
k	0,95	1,1	1,3	1,4

 

Если число суммируемых  слагаемых m£ 4 и они значительно различаются между собой, то значение коэффициента k следует взять из [1-3].

Суммарная погрешность  результата косвенного измерения оценивается  на основе композиции распределений  случайных и неисключенных систематических  погрешностей, приведенных в следующей таблице.