Финансовые функции и рекурсия

Финансовые функции и  рекурсия

Министерство образования  РФ

Тульский государственный  педагогический университет

имени Л.Н. Толстого

Кафедра информатики

 

Дипломная работа

"Финансовые функции"  и рекурсия

 

Выполнил:

Научный руководитель:

 

Тула-2000

План

 

Введение

Динамика вклада

Задача о величине вклада

Задача о величине вклада после снятия денег в конце  каждого периода

Задача о величине вклада после внесения (снятия) денег в  конце или начале каждого периода

Задача о изменяющихся процентных ставках

Задача о изменяющихся процентных ставках и величинах снимаемых денег

Дисконтирование. Инвестиции. Консолидирование

Задача о дисконтировании

Задача о инвестировании проекта

Задача о консолидировании платежей

Платежи

Задача о равных платежах в конце каждого периода

Задача о платежах с  одинаковой современной стоимостью

Задача о платежах на проценты

Разные задачи

Задача о величине процентной ставки

Задача о величине процентной ставки 2

Задача о количестве периодов для расчета заемщика с банком

Задача о суммарной  способности к кредитованию

Задача о минимальном  количестве банков

Задача о изменении величины суммарного кредитования

Заключение

Литература

 

Введение

 

В электронные таблицы Excel, систему управления базами данных Access, язык программирования Visual Basic и  многие другие современные компьютерные технологии встроены так называемые “финансовые функции”: fv(), pv(), pmt(), ppmt(), ipmt(), rate(), nper() и т.д. В повседневной жизни с задачами, в которых  они могут быть использованы, приходится сталкиваться достаточно часто. Это заставляет преподавателей информатики педагогических вузов не только знакомить студентов различных специальностей с синтаксисом и семантикой этих функций, но и уделять особое внимание поиску новых методик и технологий обучения, ориентированных на прочное усвоение соответствующих знаний. И здесь на помощь может прийти рекурсия, с помощью которой строятся лаконичные и легко понимаемые алгоритмы, а затем и соответствующие информационные модели в виде рекурсивных программ на том или ином языке программирования [9, 10]. И что особенно важно, набор упомянутых финансовых функций и рекурсивные алгоритмы их вычисления могут служить весьма подходящим фоновым материалом для начального освоения студентами рекурсии как достаточно общего и эффективного метода решения практических задач.

Заметим, что вычисление значений финансовых функций с помощью  электронных таблиц Excel или других пакетов прикладных программ можно  признать целесообразным лишь при уже  полностью сформированном понимании  их синтаксиса и семантики. Но при  первом знакомстве с этими и другими  функциями рекурсивный подход в  полной мере демонстрирует все свои дидактические преимущества по сравнению  с простым описанием функций  и решением по ним соответствующих  прикладных задач. Он дает возможность  не только всесторонне понять содержание излагаемого материала, но сделать  это быстро и эффективно. И что  особенно важно, полученные знания становятся достоянием долговременной памяти. Последний  вывод убедительно подтверждается результатами проверочной работы, проведенной  в двух группах студентов через год после ознакомления их с финансовыми функциями. Результаты эти оказались и удивительными, и убедительными. Более 36 процентов студентов, которым материал преподносился традиционно, с предъявленным заданием не справились. В то же самое время в группе, осваивавшей этот же материал с использованием рекурсии, с заданием не справились лишь 12 процентов студентов (3 человека). Столь разительное различие в уровне усвоения знаний в экспериментальной и контрольной группах заставляет нас по-новому оценить дидактические возможности рекурсии и осознать её роль и место в построении современного курса информатики в педагогических вузах. И эта роль, по-видимому, будет возрастать вместе с дальнейшим развитием компьютерной техники и программного обеспечения. В связи с этим главной задачей данной дипломной работы является разработка методик решения финансовых задач рекурсивными методами и их практическая реализация в виде обучающей программы (Web-узла) по данной теме.

При отборе материала для  первоначального знакомства студентов  и учащихся с рекурсивными методами решения прикладных задач, ориентированных  на экономические специальности, существенную роль играют два фактора: наличие  экономического содержания в этих задачах  и прозрачность свойств рекурсивности  рассматриваемых в них объектов. И то, и другое в полной мере может  быть обеспечено рекурсивной реализацией  финансовых функций.

Большой выбор содержательных задач, решаемых финансовыми функциями, можно встретить в сфере банковской деятельности [1,3-6]. Причем возникают  они здесь на обслуживании всего  лишь двух операций. Банк, являясь финансовым посредником между вкладчиками  и заемщиками (рис.1), с одной стороны, принимает деньги и платит по ним  проценты, а с другой стороны, дает кредиты и получает за них проценты. Разность между той суммой, которую  получает банк от заемщиков по процентам  за конкретный период, и той, которую  он платит вкладчикам по процентам  за этот же период, и составляет прибыль  банка. Как говорил американский писатель-сатирик Генри Уилер  Шоу [2, с.30] “Банковский процент не знает ни отдыха, ни богослужений, он работает и по ночам, и в воскресенье, и даже в дождливые дни”.

 

Рис.1. Банк как финансовый посредник между вкладчиками  и заемщиками

 

В рассматриваемой ниже серии  задач везде речь идет об обычных  вкладах и сложных процентах, а решения оформлены в виде рекурсивных программ-функций на языке программирования вычислительной среды Mathcad. Все они делятся на три категории: прямые рекурсивные  аналоги, частные случаи и обобщения  встроенных в Excel финансовых функций. Для  первой категории функций и их аргументов используются стандартные  обозначения. В иных ситуациях обозначения  произвольны. Наличие почти во всех задачах несложно выводимой при  определенных навыках, но обычно громоздкой, конечной формулы-решения позволяет  на контрольных примерах легко проверить  правильность составленных для них  рекурсивных программ. Отметим, что  все приведенные программы, благодаря  рекурсивности, весьма просты и для  их написания не требуется знания соответствующих конечных формул. В  дополнении к данной работе дается краткое описание Mathcad и программы Microsoft FrontPage 2000, с помощью которой  был создан Web-узел.

Динамика вклада

 

Начнем упомянутую серию  задач с рассмотрения простой  и многим знакомой житейской проблемы хранения денег в банке.

 

Задача о величине вклада

 

Вкладчик положил в  банк сумму в sum денежных единиц под p процентов за один период времени (год, месяц, неделя и т.д.). Составить  программу-функцию, возвращающую величину вклада по истечении n периодов времени (n = 1, 2, …).

Решение. Пусть invest(sum,p,n) - искомая  функция. Вычисления значений invest() можно  проводить по известной формуле:

invest(sum,p,n) = sumЧ(1+p/100) n.

Однако в учебных целях  нас будет интересовать рекурсивный  вариант алгоритма решения задачи. Её параметризация реализована в  постановке. Рекурсию будем осуществлять по параметру n. База рекурсии очевидна. В самом деле, если вклад положен  на хранение и взят сразу, то есть до истечения первого периода времени  начисления процентов, то возврату подлежит начальная сумма вклада - sum. Далее, декомпозиция может быть реализована  исходя из следующего факта. Положить некоторую сумму в банк на n периодов – это то же самое, что положить эту сумму на n – 1 период, взять и снова положить на 1 период. Соответствующий вариант программы-функции решения задачи выглядит так:

 (1)

Реализуя декомпозицию иным способом, получим другой вариант  рекурсивной программы (1). Например, сделаем это исходя из такого факта. Положить некоторую сумму в банк на n периодов – это то же самое, что положить эту сумму на 1 период, взять и снова положить на n-1 период. Соответствующая программа-функция выглядит так:

 (2)

В данной и подобной ей задачах указанные декомпозиционные посылки программно реализуются приблизительно с равной степенью сложности и, тем самым, обе имеют право на существование. Однако может возникнуть ситуация, когда предпочтение должно быть отдано той или иной конкретной посылке. Например, если в последующем имеется необходимость перейти к нерекурсивному варианту программы, то лучше пользоваться посылкой первого типа, а если есть проблемы с доказательством правильности реализуемого алгоритма, то целесообразно работать с посылкой второго типа.

Нетрудно видеть, что общее  количество рекурсивных вызовов  при вычислении invest(sum,p,n) и invest1(sum,p,n) равно n. Можно было бы уменьшить  это значение до величины floor(log2(n)) +1, где floor(a) - целая часть натурального числа a, исходя из следующих двух декомпозиционных посылок.

Пусть сумма sum=mЧ g денежных единиц помещена на вклад при ставке в p процентов за период. Тогда через n периодов sum возрастет до той же самой величины, что и совокупная сумма m отдельных вкладов по g денежных единиц каждый, также помещенных под р процентов за период. Не ограничивая общности, величину sum можно считать целым неотрицательным числом. В противном случае можно было бы перейти к иному номиналу денежных единиц. Значения m и g также будем считать целыми числами.

Положить некоторую сумму sum в банк на n периодов – это то же самое, что положить эту сумму на k (0ЈkЈn) периодов, взять и снова положить на n-k периодов.

Основанную на этих посылках рекурсивную функцию для решения  задачи 1 обозначим через inv(sum,p,n). Указанные  посылки обнаруживают такие свойства этой функции.

Первая посылка.

В частности, при m=1 получаем:

Первая и вторая посылки. Пусть k=floor(n/2), тогда.

Отсюда при n=2Чk сразу же получаем:

При n=2Чk+1 имеем:

Выведенные соотношения  для inv() позволяют записать такую  программу для её вычисления:

Общее количество рекурсивных  вызовов при счете по этой программе-функции  можно было бы подсчитать с помощью  следующей вспомогательной рекурсивной  функции:

и оно действительно равно 

Контрольные примеры.

Незначительная перестройка  структуры функции inv(sum,p,n) позволяет  получить еще один вариант её реализации, в котором количество рекурсивных  вызовов в точности равно   Сделать это можно так:

Замечание. В любых ситуациях, в которых возникают вопросы  о быстродействии алгоритма, желательно по возможности минимизировать общее  количество рекурсивных вызовов. В  рассмотренной задаче построить  алгоритм с  рекурсивными вызовами можно было бы значительно проще, исходя из конечной формулы для решения задачи и дихотомии. Однако путь, который мы прошли, имеет свои достоинства. Он позволяет в общем случае выявить ограничения на рекурсивную функцию, достаточные для столь малого количества рекурсивных обращений при её вычислении. Фактически, из проведенных рассуждений вытекает такое утверждение.

Пусть функция F(a,n,v) удовлетворяет  условиям:

F(a,1,v) =g(a,v),

F(a,n,v) =aЧF(1,n,v),

F(a,n,v) =F(F(a,k,v),n-k,v) (1ЈkЈn),

где a - действительное число, n - натуральное число, v=(v1,v2,…,vs) T - вектор с числовыми компонентами, g(a,v) - функция, значения которой для a и v из области  определения F(a,n,v) мы вычислять можем. Тогда рекурсивная программа-функция:

вычисляет значение F(a,n,v) ровно  за  рекурсивных вызовов.

Доказательство этого  факта с использованием свойств A, B и C можно провести так:

Отсюда, при n=2Чk имеем

а при n=2Чk+1 получаем

Именно на этих соотношениях и базируется алгоритм, реализуемый  программой-функцией F(a,n,v).

И в заключение замечания  приведем пример функции, удовлетворяющей  условиям A, B и С:   где в области определения функции f(v) её значения мы вычислят умеем.

 

Задача о величине вклада после снятия денег в конце  каждого периода

 

Вкладчик положил в  банк сумму в sum денежных единиц под p процентов за один период времени. В конце каждого периода вкладчик после начисления процентов снимает  со счета A денежных единиц. Определить сумму вклада через n периодов времени.

Решение. Данная задача весьма похожа на задачу 1. Рекурсивная программа-функция waste(sum,p,A,n) реализует декомпозицию, исходя из такого утверждения. Положить сумму sum в банк на n периодов со снятием  в конце каждого периода по A денежных единиц – это то же самое, что положить данную сумму на тех же условиях на n – 1 период, взять, снова положить на 1 период и затем снять A единиц.

 (3)

Нетрудно понять, на какую  посылку опирается при декомпозиции рекурсивная программа-функция waste1(sum,p,A,n), решающая ту же самую задачу о динамике вклада.

 (4)

Замечание 1. Конечная формула  для решения задачи 2 выглядит так:

Выводится она следующим  образом.

Одно из преимуществ “формул” waste() и waste1() в том, что они выписываются без всякого вывода и практически  без затруднений.

Контрольные примеры.

Замечание 2. В связи с  задачей о динамике вклада может  быть поставлен и такой вопрос. Сколько лет подряд вкладчик может  снимать со счета по A денежных единиц в конце каждого периода после  начисления процентов, если он положил  в банк сумму в S единиц при ставке p процентов. Ответ на него может  дать рекурсивная функция year(S,p,A):

Здесь случай неубывания величины вклада выделен отдельно (loіS), рекурсия организована по остаткам вклада после  периодов, в которых хватило денег  на очередную выплату в A единиц.

Контрольные примеры.

 

Задача о величине вклада после внесения (снятия) денег  в конце или начале каждого  периода

 

Вкладчик положил в  банк pv денежных единиц на nper периодов при неизменной банковской ставке в rate процентов. В дальнейшем он предполагает в конце (type=0) или начале (type=1) каждого  периода вносить (забирать) по pmt денежных единиц. Какой будет величина вклада через nper периодов?

Решение. Данная задача является прямым обобщением задач 1 и 2 и может  быть решена с помощью встроенной в Excel функции fv(). Однако нас будут  интересовать её рекурсивные аналоги. Будем считать, что знак величины pmt определяет тип операции, совершаемой  вкладчиком в конце или начале каждого периода. При pmtі0 деньги вносятся на счет, а при pmt<0 деньги снимаются  со счета (в Excel наоборот!). Далее, пусть  знак pv определяет, имеет ли вкладчик деньги на счету или он должен банку. При pvі0 деньги на счету есть, при pv<0 имеется задолженность в |pv| денежных единиц (в Excel наоборот!).

Пусть fv(rate,nper,pmt,pv,type) - функция  для решения исходной задачи. Ниже приведено два варианта (fv1(), fv2()) рекурсивной реализации fv():

Дадим пояснения к функциям fv1() и fv2(), например, при type=0. Параметризация задачи фактически осуществлена в её постановке. Базой рекурсии для обоих  предложенных вариантов служит случай nper=0. Иными словами, если pv денежных единиц положить в банк и сразу  же их забрать, то будет возвращена та же самая сумма. Декомпозиция для fv1() и fv2() проведена, исходя из того, что  решение исходной задачи по конечному  результату равносильно соответственно совокупности следующих действий. Для fv1(): “Положить на тех же условиях pv денежных единиц в банк на nper-1 период, снять всю сумму с вклада и, наконец, на тех же условиях снова положить её на один период”. Для fv2(): “Положить на тех же условиях pv денежных единиц в банк на 1 период, снять всю сумму с вклада и, наконец, на тех же условиях снова положить её на nper-1 период”. Именно это и реализовано в соответствующих программах функциях.