Сумматоры: определения, классификация, уравнения, структуры и применение

Уравнения, описывающие  работу полного двоичного сумматора, представленные в совершенной дизъюнктивной  нормальной форме (СДНФ), имеют вид:

Уравнение для  переноса может быть минимизировано:

P = ab + ap + bp.     (7)

При практическом проектированиии сумматора уравнения (6) и (7) могут быть преобразованы  к виду, удобному для реализации на заданных логических элементах с  некоторыми ограничениями (по числу логических входов и др.) и удовлетворяющему предъявляемым к сумматору требованиям по быстродействию.

Например, преобразуем  уравнения (6) следующим образом:

Из выражений (8) следует, что полный двоичный сумматор может быть реализован на двух полусумматорах и одном двухвходовом элементе ИЛИ. Соответствующая схема приведена  на рис. 5.

Рис. 5

Из выражения (8) для S также следует:

S = a Å b Å p.     (9)

Примечание. Так как операция Е в выражении (9) коммутативна (переменные можно менять местами), то следует, что три  входа полного  двоичного сумматора  абсолютно равноправны и на любой из них можно подавать любую входную переменную. Это полезно помнить, разводя печатные платы, на которых установлены ИС сумматоров.

К настоящему времени  разработано большое число схем сумматоров. Доказано (нашим отечественным ученым Вайнштейном), что при использовании только одного инвертора нельзя реализовать полный двоичный сумматор со сложностью P_кв < 16, а при двух инверторах — P_кв < 14, где P_кв — вес по Квайну, используемый как оценка сложности любых комбинационных схем. Pкв — это общее число всех входов всех логических элементов схемы без учёта инверторов.

Рис. 6

Покажем, используя  два метода, как была получена рациональная (с использованием только одного инвертора) схема полного двоичного сумматора, явившаяся основой схем ИС сумматоров типа 7480, 155ИМ1 и др.

Первый  метод основан на использовании значения выходного переноса P как вспомогательной переменной при определении выходной суммы S (табл. 4). В табл. 4 при наборах переменных, являющихся нереальными (например, единичное значение переноса при нулевых значениях всех входных переменных), поставлены безразличные значения (крестик) для функции S, которые можно доопределять произвольным образом.

Таблица 4

Из карты Карно  для функции S (рис. 6) следует: 
S = abp + Pa + Pb + Pp = = abp + P(a + b + p). (10)

Второй  метод основан на применении диаграмм Венна. На рис. 7а показана диаграмма Венна для трех переменных а, b, p; области, ограниченные окружностями, соответствуют переменным а, b, p, а области, обозначенные цифрами от 0 до 7 — соответствующим конъюнкциям (например, 5 = abp). Область, заштрихованная на рис. 7б, очевидно, соответствует функции P = ab + ap + bp. Функция S представлена заштрихованной областью на рис. 7в. Её можно представить суммой произведения функции a + b + p (рис. 7г) на функцию ab + ap + bp (рис. 7д) и функции abp (рис. 7е). Очевидно, что в этом случае получается выражение для S, аналогичное уравнению (10).

Рис. 7

Схема сумматора, реализованного по уравнениям (7) и (10), приведена на рис. 8а. В данной схеме  используются многовходовые логические элементы И и ИЛИ. Если использовать только двухвходовые элементы, то получаются схемы, приведённые на рис. 8б,в.

Рис. 8

Литература 

1. Самофалов К.Г., Корнейчук В.И., Тарасенко В.П. Электронные цифровые вычислительные машины: Учебник. — Киев: Высшая школа. — 1976. — 480 с.
2. Потемкин И.С. Функциональные узлы цифровой автоматики. — М.: Энергоатомиздат. — 1988. — 320 с.
3. Угрюмов Е.П. Проектирование элементов и узлов ЭВМ: Учеб. пособие для вузов. — М.: Высшая школа. — 1987. — 320 с.