Вычисление определённых интегралов

содержание

 

ВВЕДЕНИЕ

На практике в большинстве  случаев найти точное решение  возникшей математической задачи не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого делать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других знакомых функциях. Поэтому важное значение приобрели численные методы, особенно с возрастанием роли различных математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.

Под численными методами подразумеваются методы решения  задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям  над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.

Объектом данной работы является метод прямоугольников.

Метод прямоугольников  – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного  интегрирования.

Целью данной работы является изучение и исследование приближенного вычисления определённых интегралов с помощью формулы прямоугольников, а также автоматизация изучаемого метода на Turbo Pascal 7.0. Для этого необходимо выполнить следующие задачи:

• подобрать и изучить теоретический материал для приближенного вычисления определенного интеграла по формуле прямоугольников;
• исследовать основные понятия метода прямоугольников;
• рассмотреть экономическое применение метода прямоугольников;
• автоматизировать метод прямоугольников для приближенного вычисления определённого интеграла в общем виде на языке Turbo Pascal;
• сделать выводы по выполненной работе, протестировать программу, найти погрешности вычислений.

Актуальность метода обуславливается широким применением  определённого интеграла в экономике, физике, технике и т.д.

 

1. понятие определенного интеграла

Поскольку предмет нашего исследования – приближенное вычисление определенного интеграла, выясним, в чем суть этого понятия, какие проблемы приводят к использованию интеграла.

Рассмотрим непрерывную  функцию у = f(x), не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит выше оси Ох, хотя и может касаться оси Ох в некоторых точках. Пусть а и b — такие числа, что функция определена при a≤ x ≤b.

Кривая у = f(x) и прямые х = а, х = b и у = 0 ограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой у = f(x) от а до b, или криволинейной трапецией.

Если требуется вычислить  площадь S криволинейной трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 1.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой, то можно вычислить S с любой степенью точности. Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 1.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой х интервала [а, b]; он имеет высоту f(x) и бесконечно малую ширину

Рис.1.1. Криволинейная  трапеция

dx; площадь его равна, следовательно, f(x)dx.  Общая же площадь S есть сумма всех таких площадей [2].

Рис.1.2. Вычисление площади  криволинейных трапеций

 

 Напомним, Лейбниц писал S = ∫ f(x) dx. Символ ∫ означал у него сумму. Этот символ происходит от удлинения буквы S (первой буква слова Summa). Позже ученик Лейбница Иоган Бернулли предложил отличать «целостную сумму бесконечно малых» от обычной суммы и предложил знак ∫ именовать интегралом от латинского слова integralis (целостный). Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения х:

 

 

Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок.

Пусть функция f(x) неотрицательна на [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на n промежутков точками x₀, x₁ ..., x_n:

 

 

На каждом отрезке  разбиения выберем точку c_j и положим

 

 

Тогда произведение f (c_j) ∆x_j равно площади прямоугольника S_j со сторонами f (c_j) и ∆x_j. Сумма площадей всех таких прямоугольников равна сумме вида

 

Эта сумма представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем  уже ступеньки, тем ближе площадь  ступенчатой фигуры к площади  криволинейной трапеции (рис. 1.2) [2]. Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма S_n стремится к площади криволинейной трапеции S.

Введем теперь точное определение.

Пусть на отрезке [а, b] задана функция у = f(x) (теперь уже необязательно неотрицательная). Разобьем отрезок [а, Ь] на n промежутков точками x₀, x₁ ..., x_n:

 

На каждом отрезке  разбиения [x _{j -1}, x_j] выберем точку c _j и положим

 

 

Сумму вида

 

назовем интегральной суммой для функции у = f(x) на [а, b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка [а, b] точками x₀, x₁ ..., x_n, так и от выбора точек с_о, c₁, ..., с_n на каждом из промежутков разбиения [x _{j -1}, x_j], j = 1, 2, … , n.

Обозначим через max ∆x_j максимальную из длин отрезков [x _{j -1}, x_j], где j =1, 2, ... , n.

Определение. Пусть предел интегральной суммы

 

 

при стремлении max ∆ x_j к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек x₁, x₂, ... и c₁, c₂, … . Тогда этот предел называется определеным интегралом от функции у = f(x) на [а, b] и обозначается

 

 

а сама функция у = f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], т. е.

 

 

Эта запись читается: «интеграл  от а до бэ эф от икс дэ икс» [2]. При этом число а называется нижним пределом, число b - его верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтгральным выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции f(x) на отрезке [а, b].

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно  различные понятия. Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл — это число.

Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

 

 

Верхний предел b может быть больше или меньше нижнего а.

В первом случае

 

 

Поэтому по определению  полагают

 

 

Понятие определенного  интеграла распространяют и на случай а = b; интеграл с равными пределами считается равным нулю:

 

 

Это соглашение оправдано  тем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении а и b.

Очевидно, если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то она и ограничена на этом отрезке. В самом деле, если f(x) не ограничена на отрезке [а, b], то она не ограничена на некотором отрезке [x _{j -1}, x_j]. За счет выбора точки c_j интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы S_n существует и конечен.

Покажем на примере функции Дирихле, что обратное утверждение неверно: существует ограниченная функция, не являющаяся интегрируемой. Напомним, что функция Дирихле равна единице в рациональных точках и нулю - в иррациональных. На любом отрезке [а, b] эта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем [3]. Действительно, если в каждом отрезке [x _{j -1}, x_j] выбрать рациональную точку с_j, то интегральная сумма

 

 

Если выбрать иррациональную точку с_j, то f(с_j) = 0 и

 

 

Таким образом, с одной  стороны S_n = b - а, с другой стороны S_n = 0. Поэтому предел интегральных сумм не существует и функция Дирихле не является интегрируемой [4].

Отметим без доказательств, что справедливы следующие утверждения:

1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то она интегрируема на любом отрезке [с, d], содержащимся в [а, b].
2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке.
3. Если функция f(x) имеет на отрезке [а, b] конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на отрезке [а, b].

 

2. Численное интегрирование: метод прямоугольников

Численное интегрирование (историческое название: квадратура) - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых и , где и - пределы интегрирования.

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может  быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом [1].

2.1. Квадратурные формулы.

Постановка задачи численного интегрирования.

Пусть требуется вычислить 

 

      (1)

 

Если  - первообразная для , то . Часто получить выражение для первообразной не удается. Подынтегральная функция может быть задана в табличном виде. В этих случаях подынтегральную функцию заменяют на некоторую аппроксимирующую функцию, интеграл от которой легко вычисляется в элементарных функциях. Для аппроксимации подынтегральной функции часто используют интерполяцию. Во многих случаях формулы для приближенного вычисления интегралов (1) можно записать в виде

 

             (2)

 

Формулы такого вида называются квадратурными.

- узлы квадратурной формулы.

- коэффициенты.

- погрешность (остаточный член ) квадратурной формулы [7].

Сумма в правой части  формулы (2) называется квадратурной суммой.

Квадратурная формула называется интерполяционной, если

 

     (3)

 

Важной характеристикой  квадратурной формулы является ее алгебраическая степень точности.

Определение: целое неотрицательное число d называется алгебраической степенью точности квадратурной формулы, если эта формула точна для всех многочленов степени не выше d и не точна для x^d+1.

Теорема:

Для того чтобы квадратурная формула с n попарно различными узлами была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы d³n-1 [5].

2.2. Квадратурные формулы прямоугольников.

Построение.

Простейшая квадратурная формула получается при использовании интерполяционного многочлена нулевой степени.

Фиксируем и заменяем подинтегральную функцию интерполяционным многочленом нулевой степени, который совпадает со значением : . Тогда

 

       (4)

 

Различают метод левых, правых и средних прямоугольников. Суть метода ясна из рисунка. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс [6].

 

Частные случаи:

- формула левых прямоугольников

- формула правых прямоугольников

- формула средних прямоугольников.

Квадратурные  формулы прямоугольников 

Квадратурная  формула левых прямоугольников:

 

 

Очевидно, что ее алгебраическая степень точности d=0 и формула является интерполяционной.

Квадратурная  формула правых прямоугольников

 

 

Квадратурная  формула средних прямоугольников

 

 

Алгебраическая степень  точности d=1 и формула является интерполяционной [5].

Составные квадратурные формулы прямоугольников

Разбиваем промежуток интегрирования [a,b] на N равных частей, h=(b-a) N — длина частичного разбиения.

Обозначим , . Составные квадратурные формулы прямоугольников напишем в следующем виде: