Автор работы: Пользователь скрыл имя, 07 Апреля 2014 в 19:14, курсовая работа
1. Постановка задачи.
Во всех вариантах требуется:
1. Используя метод наименьших квадратов функцию , заданную таблично, аппроксимировать
а) многочленом первой степени ;
б) многочленом второй степени ;
в) экспоненциальной зависимостью .
2. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности.
3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).
4. Для каждой зависимости построить линию тренда.
5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики зависимости y от x.
6. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.
7. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию .
Введение……………………………………………………………………………………5
1. Постановка задачи…………………………………………………………………6
2. Расчетные формулы……………………………………………………………….7
2.1. Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов……7
2.2. Линеаризация экспоненциальной зависимости…………………………….9
2.3. Элементы теории корреляции………………………………………………10
3. Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel…………………….13
3.1. Аппроксимация функции y = f(х) многочленом первой степени ……………………………………………………………….13
3.2. Аппроксимация многочленом второй степени
……………………………………………………….16
3.3. Аппроксимация экспоненциальной зависимостью ……………17
3.4. Расчет коэффициентов детерминированности и корреляции……………19
4. Построение графиков функций и использование функции ЛИНЕЙН……….23
4.1. Построение графика зависимости…………………………………………..23
4.2. Построение линии тренда…………………………………………………...23
4.3. Получение числовых характеристик зависимости………………………...25
Заключение……………………………………………………………………………….27
Список литературы………………………………………………………………………28
В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.
Корреляционное отношение вычисляется по формуле:
,
где , а числитель характеризует рассеяние условных средних около безусловного среднего .
Всегда . Равенство соответствует некоррелированным случайным величинам; тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между y и x. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.
Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи y с x в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные, вводится еще одна характеристика ¾ коэффициент детерминированности.
Для его описания рассмотрим следующие величины. - полная сумма квадратов, где среднее значение .
Можно доказать следующее равенство
Первое слагаемое равно и называется остаточной суммой квадратов. Оно характеризует отклонение экспериментальных данных от теоретических.
Второе слагаемое равно и называется регрессионной суммой квадратов, и оно характеризует разброс данных.
Очевидно, что справедливо следующее равенство .
Коэффициент детерминированности определяется по формуле:
.
Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности , который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.
Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае, когда выполняется равенство то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные.
Функция y = f(x) задана таблично
Исходные данные представлены в Таблице 1.1.
Вариант №5
Таблица 1
Исходные данные
аргу-мент |
функ-ция |
аргу-мент |
функ-ция |
аргу-мент |
функ-ция |
аргу-мент |
функ-ция |
аргу-мент |
функ-ция |
0,77 |
0,56 |
2,76 |
7,06 |
5,54 |
28,76 |
8,12 |
65,87 |
11.89 |
130,75 |
1,45 |
2,08 |
3,45 |
14,98 |
5,81 |
30,76 |
8,87 |
77,85 |
12,56 |
149,56 |
1,76 |
3,04 |
3,89 |
15,98 |
6,98 |
45,76 |
9,45 |
86,09 |
13,43 |
172,45 |
2,23 |
2,76 |
4,87 |
23,22 |
7,34 |
50,87 |
10,87 |
101,65 |
13,55 |
175,51 |
2,65 |
3,65 |
5,04 |
26,12 |
7.86 |
60,45 |
11,23 |
124,37 |
14,76 |
200,54 |
Требуется выяснить - какая из функций - линейная, квадратичная или экспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей 1.
3.1.
Аппроксимация функции y = f(х) многочленом первой степени
Поскольку в задании каждая пара значений ( , ) встречается один раз, то корреляционная таблица примет вид единичной матрицы. Значит условные средние совпадают со значениями . Отсюда следует, что корреляционное отношение равно 1 и, следовательно, между и существует функциональная зависимость.
Для проведения расчетов используем средства табличного процессора Microsoft Excel.
Таблица 2
Поясним, как таблица 2 составляется.
Шаг 1. В ячейки B4:B28 заносим значения .
Шаг 2. В ячейки C1:C28 заносим значения .
Шаг 3. В ячейку D4 вводим формулу =B4^2.
Шаг 4. В ячейки D5:D28 эта формула копируется.
Шаг 5. В ячейку E4 вводим формулу =B4*C4.
Шаг 6. В ячейки E5:E28 эта формула копируется.
Шаг 7. В ячейку F4 вводим формулу =B4^3.
Шаг 8. В ячейки F5:F28 эта формула копируется.
Шаг 9. В ячейку G4 вводим формулу =B4^4.
Шаг 10. В ячейки G5:G28 эта формула копируется.
Шаг 11. В ячейку H4 вводим формулу =B4^2*C4.
Шаг 12. В ячейки H5:H28 эта формула копируется.
Шаг 13. В ячейку I4 вводим формулу =LN(C4).
Шаг 14. В ячейки I5:I28 эта формула копируется.
Шаг 15. В ячейку J4 вводим формулу =B4*LN(C4).
Шаг 16. В ячейки J5:K28 эта формула копируется.
Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования .
Шаг 17. В ячейку B29 вводим формулу =СУММ(B4:B28).
Шаг 18. В ячейку C29 вводим формулу =СУММ(C4:C28).
Шаг 19. В ячейку D29 вводим формулу =СУММ(D4:D28).
Шаг 20. В ячейку E29 вводим формулу =СУММ(E4:E28).
Шаг 21. В ячейку F29 вводим формулу =СУММ(F4:F28).
Шаг 22. В ячейку G29 вводим формулу =СУММ(G4:G28).
Шаг 23. В ячейку H29 вводим формулу =СУММ(H4:H28).
Шаг 24. В ячейку J29 вводим формулу =СУММ(J4:J28).
Шаг 25. В ячейку K29 вводим формулу =СУММ(K4:K28).
Аппроксимируем функцию линейной функцией . Для определения коэффициентов и воспользуемся системой
Используя итоговые суммы таблицы 2.1 ,расположенные в ячейках B29, C29, D29 и E29, запишем систему 2.1 в виде
(3.1.2)
решив которую, получим = и = .
Результаты решения системы (3.1.2) представлены в таблице 3.
Таблица 3
Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид
= -35,1556+14,0781x. (3.1.3)
В таблице 3 в ячейках B37:C38 введена формула {=МОБР(B33:C34)}.
В ячейках F37:F38 введена формула {=МУМНОЖ(B37:C38;D33:D34)}.
3.2. Аппроксимация многочленом второй степени
Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Для определения коэффициентов , и воспользуемся системой
(3.2.1)
Используя итоговые суммы таблицы 3, расположенные в ячейках B29, C29, D29, E29, F29, G29 и H29, запишем систему (2.1.4) в виде
(3.2.2)
решив которую, получим = -0,61511, = 0,55425и = -0,90104.
Результаты решения системы (3.2.2) представлены в таблице 4.
Таблица 4
Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид
y=-0,61511+0,55425x-0,90104x2
В таблице 2.3 в ячейках С47:E49 введена формула {=МОБР (C41:E44)}.
В ячейках G47:G49 введена формула {=МУМНОЖ (C47:E49,F41:F44)}.
3.3. Аппроксимация экспоненциальной зависимостью
Теперь аппроксимируем функцию экспоненциальной функцией . Для определения коэффициентов и прологарифмируем значения и используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках B29, D29, I29 и J29, получим систему
где =ln( ).
Результаты решения системы (2.3.3) представлены в таблице 5.
Таблица 5
Таким образом, система (2.3.3) имеет следующие решения: = 0,88433, =0,35140. После потенцирования получим = 2,42137.
Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид
В таблице 5 в ячейках B57:B58 введена формула {=МОБР (B53:C54)}.
В ячейках Е56:Е57 введена формула {=МУМНОЖ (B57:C58,D53:D54)} .
В ячейке Е58 введена формула =EXP(E56).
Вычислим среднее арифметическое и по формулам
;
Результаты расчета и представлены в таблице 6.
Таблица 6
В ячейке В30 введена формула =B29/25 .
В ячейке В31 введена формула =C29/25.
3.4. Расчет коэффициентов детерминированности и корреляции
Для того чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности воспользуемся таблицей 7, которая является продолжением таблицы 2.
Таблица 7
В таблице 7 ячейки B4:B29 и C4:C29 уже заполнены (см. табл. 2).
В ячейку K4 введена формула =(B4-$B$30)*(C4-$B$31).
В ячейки K5:K28 эта формула копируется.
В ячейку L4 введена формула =(B4-$B$30)^2.
В ячейки L5:L28 эта формула копируется.
В ячейку M4 введена формула =(C4-$B$31)^2.
В ячейки M5:M28 эта формула копируется.
В ячейку N4 введена формула =($E$37+$E$38*B4-C4)^2.
В ячейки N5:N28 эта формула копируется.
В
ячейку O4 введена формула =($ =($F$47+$F$48*B4+$F$49*B4^2-
В ячейки O5:O28 эта формула копируется.
В ячейку P4 введена формула =($E$58*EXP($E$57*B4)-C4)^2.
В ячейки P5:P28 эта формула копируется.
Последующие шаги выполнены с помощью автосуммирования Σ.
В ячейку K29 введена формула =СУММ(K4:K28).
В ячейку L29 введена формула =СУММ(L4:L28).
В ячейку M29 введена формула =СУММ(M4:M28).
В ячейку N29 введена формула =СУММ(N4:N28).
В ячейку O29 введена формула =СУММ(O4:O28).
В ячейку P29 введена формула =СУММ(P4:P28).
Для расчета коэффициента корреляции для линейной аппроксимации воспользуемся формулой:
Для расчета коэффициента детерминированности воспользуемся формулой:
Результаты расчетов представлены в таблице 8.
Таблица 8
В таблице 8 в ячейке C71 введена формула =K29/(L29*M29)^0,5.
В ячейке F72 введена формула = =1-N29/M29.
В ячейке F73 введена формула =1-O29/M29.
В ячейке F74 введена формула = =1-P29/M29.
Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.
Исследование характера зависимости проведём в три этапа:
4.1.Построение графика зависимости
Информация о работе Аппроксимация функций методом наименьших квадратов