Левая часть
этого тождества зависит только
от x, а правая только
от y. Следовательно,
та и другая равны одной и той же константе,
которую мы обозначим 2c. Тогда
y(x) º 1+2cj(x)+j2(x) = [j+c]2+1-c2. |
|
(5) |
Это тождество
мы доказали сейчас при условии, что j(x) ¹ 0. Однако, как
мы видели выше, оно справедливо и при j(x) = 0, а следовательно,
и при всех x. Подставляя
(5) в первое из
исходных функциональных уравнений, получаем
j(x+y) = |
j(x)+j(y)+2cj(x)j(y)
1-j(x)j(y) |
. |
|
(6) |
Непосредственной
проверкой убеждаемся, что если j удовлетворяет
уравнению (6), а yнаходится из
(5), то оба функциональных
уравнения, данные в условии задачи, удовлетворяются.
Таким образом, нам остаётся решить уравнение
(6).
Прежде чем переходить
к отысканию общего решения, решим
(6) в классе функций, имеющих
производную в нуле, т.е. таких, у которых
существует предел
(выше мы
уже нашли, что j(0) = 0). Из (6) имеем
| |
lim
y®0 |
|
j(x+y)-j(x)
y |
= |
lim
y®0 |
|
j(y)
y |
· |
1+2cj(x)+j2(x)
1-j(x)j(y) |
= |
|
Следовательно,
функция j(x) дифференцируема
и удовлетворяет дифференциальному уравнению
Решая это
уравнение с учётом начального условия j(0) = 0, находим
(th следует заменить
на ctg, если модуль
аргумента > 1). Из (5) находим соответствующие y.
Пусть c2 < 1. Запишем j(x) в виде
j(x) = |
|
____
Ö1-c2
|
|
tg |
f(x)-c. |
|
(9) |
Из (6) получаем функциональное
уравнение для f
f(x+y) = f(x)+f(y)-arcsinc, |
|
и, значит, F(x) = f(x)-arcsinc удовлетворяет
уравнению
Оставляя
в стороне "паталогические" решения
этого уравнения (см. 3, п.3.1), имеем F(x) = ax, откуда опять
приходим к первой формуле (7)
| |
æ
è |
a = A |
|
____
Ö1-c2
|
|
ö
ø |
. |
|
Аналогично обстоит дело
и при c2 ³ 1. Таким образом, все "приличные"
решения (например, ограниченные в некоторой
окрестности точки 0) даются формулами
(1), (3), (7) и (8).