Решение сферических треугольников

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНтСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА информатики и вычеслительной математики

 

 

 

 

 

Курсовая работа

На тему «Решение сферических треугольников»

Специальность 050201.65

 

 

Выполнил студент

Группы 021

Фазлинуров Э.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Набережные Челны – 2012г.

Содержание

 

Введение…………………………………………………………………..........….3

Глава 1

1.1 Сферическая геометрия....................................................................................5

1.2 Основные формулы и соотношения сферической геометрии.......................8

1.3 Теоремы о сферических треугольниках

Глава 2

2.1 Решение сферических  треугольников...........................................................23

2.2 Задачи...............................................................................................................27 
Заключение.............................................................................................................32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение 
Еще древние греки считали окружность (круг) и сферу (шар) идеальными формами. Подтверждение этому можно наблюдать в природе: многие плоды и ягоды имеют форму шара или близкую к ней, например арбуз, апельсин, смородина. Шаровидная форма используется в технике, например, в подшипниках. Во многих играх снаряд имеет форму шара: мяч в футболе, волейболе, тенесе, гольфе, шар в бильярде и др. Хорошо всем знакомый ёлочный шарик — на самом деле сфера, так как сделан из очень тонкого стекла и внутри пустой.

Форму шара имеет наша планета и большинство космических тел. А так как планеты, Солнце, Луна и звёзды движутся по воображаемой «небесной сфере», то естественно, для изучения их движения потребовалось знание  геометрии  сферы.

При решении задач практического характера и, в первую очередь, задач астрономии возникла  сферическая   геометрия . Эти задачи были необходимы, например, путешественникам и мореплавателям, которые ориентировались по звёздам.

Сведения о сфере были необходимы и при решении сугубо земных задач — вычислении географических координат, для составления географических карт, для нахождения курса корабля.

В настоящее время, существуют различные науки в основе которых лежит  сферическая   геометрия .

Например, математическая картография изучает способы отображения поверхности Земли на плоскости. Поскольку поверхность Земли (приблизительно  сферическая ) имеет конечную кривизну, её нельзя отобразить на плоскость с сохранением всех пространственных отношений одновременно: углов между направлениями, расстояний и площадей поверхностей. Можно сохранить только некоторые из этих соотношений. Важное понятие в математической картографии — картографическая проекция, то есть функция, задающая отображение географических координат точек на поверхности Земли на декартовы координаты на плоскости. Область картографии — составление и оформление карт.

Другой значительный раздел математической картографии — картометрия, которая позволяет по данным карты измерять расстояния, углы и площади на реальной поверхности Земли.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1:

1.1 Сферическая геометрия

     Сферическая геометрия – математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.  
     Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении некоторую окружность; если секущая плоскость проходит через центр О сферы, то в сечении получается т. н. большой круг. Через каждые две точки А и В на сфере (рис., 1), кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести единственный большой круг. Большие круги сферы являются ее геодезическими линиями и поэтому в сферической геометрии играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии.         Однако в то время как любой отрезок прямой является кратчайшим между его концами, дуга большого круга на сфере будет кратчайшей лишь в случае, когда она короче дополнительной дуги. Во многих других отношениях сферическая геометрия также отлична от планиметрии; так, напр., в сферической геометрии не существует параллельных геодезических: два больших круга всегда пересекаются, и притом в двух точках.

Длину отрезка АВ на сфере, то есть дугу АтВ (рис., 1)большого круга, измеряют соответствующим пропорциональным ей центральным углом АОВ. Угол ABC (рис., 2), образованный на сфере дугами двух больших кругов, измеряют углом А 'ВС' между касательными к соответствующим дугам в точке пересечения Вили двугранным углом, образованным плоскостями ОВА и ОВС.  
При пересечении двух больших кругов на сфере образуются четыре сферических двуугольника (рис., 3). Сферический двуугольник определяется заданием своего угла. Площадь сферически. двуугольника определяется по формуле S = 2R2A, где R - радиус сферы, А - угол двуугольника, выраженный в радианах.  
Три больших круга, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис., 4);зная элементы (углы и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны которого меньше половины большого круга (такие треугольники наз. эйлеровыми треугольниками). Стороны а, b, с сферического треугольника измеряются плоскими углами трехгранного угла ОАВС (рис., 5), углы А, В, С. треугольника - двугранными углами того же трехгранного угла. Свойства сферический треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трем случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется еще четвертый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (на сфере не существует подобных треугольников).  
Равными треугольниками считаются те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Равные сферически треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, наз. симметричными; таковы, напр., треугольники АС'С и ВСС' на рис.,6.  
Во всяком сферическом треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше   Сумма углов сферического треугольника всегда меньше   и больше   Разность   где s- сумма углов сферического треугольника, наз. сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле   где R - радиус сферы. Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, напр., следующим образом. Фиксируются (рис., 7) некоторый большой круг QQ' (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра РР' сферы, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, напр. . (полюс), и один из больших полукругов РАР'; выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие из Р, наз. меридианами, малые ее круги, параллельные экватору,- параллелями. В качестве одной из координат точки М на сфере принимается угол  - полярное расстояние, в качестве второй - угол   между нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М,- долгота, отсчитываемая против часовой стрелки.  
Длина L дуги М 1 М 2 (рис., 8)линии   вычисляется по формуле

1.2  Основные формулы и соотношения сферической геометрии 

  

     Рассмотрим сферический треугольник   на небесной сфере, причем точка   является полюсом, а точка   лежит в плоскости      Рис.1

Декартовы координаты единичных векторов    при  : 

 

 
По определению скалярного произведения имеем rB*rC=cosa . Это же произведение в декартовых координатах имеет вид:

rB*rC=sinc sinb cosA+cosc cosb

Перепишем эти формулы в следующем виде:

cosa=cosbcosc+sinbsinc cosA

(1)

 

 

Мы доказали теорему:"Косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов этих сторон на косинус угла между ними". Обычно соотношение (1) называют формулой косинусов. С помощью циклической перестановки можно написать формулы косинусов для двух других сторон:

 

 

Теперь вычислим векторное произведение     rC x rB . Согласно|a x b|=|a|x|b|sinɣ     получим:         |rC x rB|=sina 

                                                                   

Допустим, что вектор rC x rB  направлен в точку   (рис.1), то есть

rC x rB  =rDsina

(2)

 

 

rD - единичный вектор. Используя  запишем левую часть (2) в виде:

 

(3) 

Правую часть (2) согласно  можно записать в виде:

(4)

 

 

В треугольнике   сторона  , и плоскость   перпендикулярна плоскости   (  ). Поэтому  . По формуле косинусов имеем

или

Приравнивая  -компоненты в формулах (3) и (4) получим:

или

По аналогии из треугольника   получим:

что приводит к выражению:

В результате мы можем записать, что

(5)

 

 

Эти соотношения известны как формулы синусов. 
Сформулируем полученный результат как теорему: "В сферическом треугольнике отношение синуса стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная". 
Для вывода следующей группы соотношений между сторонами и углами сферического треугольника запишем формулу синусов для треугольника  :

или:  . Сравнивая  -компоненты в уравнениях (3) и (4), получим:

(6)

 

 

Сформулируем следующую теорему: "Произведение синуса стороны сферического треугольника на косинус прилежащего угла равно произведению косинуса противолежащей углу стороны на синус третьей стороны минус произведение синуса на косинус этих же сторон, умноженное на косинус угла между ними".

Используя циклическую перестановку сторон и углов, можно получить следующие уравнения:

		(7)

 

 

Формулы (6) и (7) известны как формулы пяти элементов или формулы подобия.

На основе формул синусов, косинусов и формул подобия можно получить ряд других уравнений, связывающих углы и стороны сферического треугольника. С выводом этих уравнений можно ознакомиться в соответствующих учебниках. Так как в астрономии наиболее часто используются формулы синусов, косинусов и подобия, на выводе других уравнений мы не будем останавливаться.

 

Следующие свойства сферического треугольника аналогичны свойствам плоского треугольника:  
а) В каждом сферическом треугольнике против большего угла лежит большая сторона;  
б) Сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

 

Найдем площадь сферического треугольника. Для этого рассмотрим треугольник 

 

Рис2.

Обозначим его площадь через  . Плоскость   делит сферу на две полусферы, в одной из которых и расположен треугольник  . Площадь полусферы равна  , если радиус сферы равен  . На рис.2  площадь ближней к нам полусферы складывается из площадей следующих фигур: сегмента сферы  , сегмента   минус треугольник  , сегмента   минус треугольник  . Если углы треугольника   измеряются в радианах, то площадь каждого из указанных сегментов равна  ,  ,  , соответственно. Треугольник  равновелик заданному треугольнику  . Поэтому можно написать уравнение:

 

Отсюда площадь сферического треугольника   равна

где углы   выражены в радианах.

Определим теперь площадь всей небесной сферы. Для этого удобно площадь сферы выразить в квадратных градусах. Для этого сначала выразим радиус сферы в градусах:  . Тогда площадь всей сферы равна

   квадратных градусов

 

1.3Теоремы о сферических треугольниках 
Теорема Лекселля (Lexell). Если даны площадь сферического треугольника и две его вершины, то геометрическое место третьих вершин состоит из двух малых окружностей, проходящих через точки, диаметрально противоположные двум данным вершинам.

Доказательство: Пусть А и В – данные вершины, С – третья вершина, А′ и В′ - точки диаметрально противоположные точкам А и В.(рис.3)

Рис. 3

Сумма ÐА+ÐВ+ÐС углов треугольника АВС известна; но углы СА′В′ и СВ′А′ треугольника А′В′С соответственно равны ÐСАВ′ и ÐСВА′, т.е. углам, пополнительным углам А и В. Таким образом, сумма ÐА+ÐВ+ÐС может быть записана в виде ÐС+2p-ÐСА′В′-ÐСВ′А′. Следовательно, известна величина ÐСА′В′+ÐСВ′А′-ÐС′ и геометрическое место точек С состоит из двух малых окружностей, проходящих через точки А′ и В′.

Теорема1. Геометрическое место третьих вершин сферических треугольников, у каждого из которых две вершины совпадают соответственно с двумя данными точками и разность между углом при третьей вершине и суммой углов при данных вершинах имеет заданную величину, состоит из двух дуг, принадлежащих различным окружностям.

Доказательство: Пусть В и С – две данные вершины, А – третья вершина; предположим, что дана величина ÐВ + ÐС - ÐА. Пусть далее О (рис.4) один из полюсов окружности, описанной около треугольника: покажем, что точка О неподвижна.

Так как треугольник ОВС равнобедренный, то дуги больших окружностей ОВ и ОС образуют со стороной ВС углы, равные по абсолютной величине, но имеющие противоположные знаки. Пусть a - первый из этих углов; следовательно,

a = ÐСВО = - ÐВСО;

Пусть точно также

b = ÐАСО = - ÐСАО,

g = ÐВАО = - ÐАВО.

Если расположение треугольника таково, что угол ВАС положителен, то будем иметь с точностью до целых окружностей:

ÐА = b + g,

ÐВ = g + a,

ÐС = a + b,

и, следовательно,                      ÐВ + ÐС - ÐА = 2a,

или иначе:                                  

это равенство даёт величину a и, следовательно, позволяет определить положение точки О. Давая a два значения, отличающихся одно от другого на полуокружность, будем иметь для этой точки два диаметрально противоположных положения, которые будут определять два полюса одной и той же окружности.

Рис. 4

Наоборот, если сделать относительно расположения треугольника предположение, противоположное тому, которое было сделано ранее, то получим другую окружность; то же самое будет и в том случае, если изменить знак разности ÐВ+ÐС-ÐА.