Правильные многогранники

Правильные многогранники

 

Выполнила  Зайцева Т.Г. – преподаватель математики         

КГБОУ «Машиностроительный профессиональный лицей»  г. Красноярск

Определение правильного многогранника

 

• Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

 

• Для перехода к выполнению

задания воспользуйся кнопкой

 

Какие из представленных многогранников являются правильными?

Существует 5 типов правильных многогранников

 

Правильный додекаэдр

 

Правильный икосаэдр

 

Правильный гексаэдр

 

Правильный тетраэдр

 

Правильный октаэдр

Правильный тетраэдр

 

C

 

A

 

B

 

D

 

В переводе с греческого «тетраэдр» -  четырёхгранник .

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники;  в каждой вершине сходится по три ребра.

Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой  все ребра равны.

 

Кнопка для перехода к таблице

Правильный гексаэдр

 

А

 

B

 

C1

 

D1

 

C

 

D

 

B1

 

A1

 

Гексаэдр - шестигранник.

У правильного гексаэдра (куба) все грани -квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.

 

Кнопка для перехода к таблице

Правильный октаэдр

 

A

 

M

 

C

 

B

 

F

 

D

 

Октаэдр - восьмигранник.

У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой вершине сходится по четыре ребра.

 

Кнопка для перехода к таблице

Правильный додекаэдр

 

Додекаэдр - двенадцатигранник.

 

У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.

 

Кнопка для перехода к таблице

Правильный икосаэдр

 

Икосаэдр - двадцатигранник.

У икосаэдра грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится  по пять рёбер.

 

Кнопка для перехода к таблице

Историческая справка

 

О существовании всего лишь пяти правильных многогранников знали еще  в Древней Греции. Великий древнегреческий мыслитель Платон считал, что четыре из них олицетворяют четыре «стихии»: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух. Пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал собой все мироздание, представлял собой образ всей Вселенной, почитался главнейшим и его стали называть quinta essentia (квинта эссенциа») или «пятая сущность».

Правильные многогранники называют иногда Платоновыми телами, им посвящена последняя книга «Начал» Евклида. Её считают венцом стереометрии у древних греков.

 

Основные элементы правильных многогранников

 

Тип многогранника	Число
	ребер	граней	вершин
Тетраэдр
Куб (гексаэдр)
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

 

 

Заполните таблицу  в тетради и проверьте её по теореме (формуле) Эйлера

В + Г = Р + 2, где Р – число рёбер, В – вершин, Г - граней

Применение в кристаллографии

 

• Тела Платона нашли широкое применение в кристаллографии, так как многие кристаллы имеют форму правильных многогранников.
• Например, куб - монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр - монокристалл алюмокалиевых квасцов, одна из форм кристаллов алмаза - октаэдр

 

Кристаллы бывают самой различной формы: 1 — берилл, 2 — аметист, 3 — рубин, 4 — кристалл металла германия — денорит, 5 — горный хрусталь, 6 — испанский шпат, 7 — поваренная соль, 8 — ограненный алмаз—бриллиант, вправленный в кольцо.

 

 

В колбе с перенасыщенным раствором на конце проволочки, опущенной в раствор, растет кристалл поваренной соли.

 

Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба

 

Скелет одноклеточного организма феодарии представляет собой икосаэдр.

 

Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба.

 

Молекулы воды имеют форму тетраэдра.

 

Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров.

 

Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра

Заключение

 

• Сегодня на уроке вы познакомились с понятием правильного многогранника, узнали о существовании пяти типов правильных многогранников.
• Заполните в тетради таблицу «Элементы правильных многогранников.
• Решите задачи №56 (с.247),№35(с.245)

Леонард Эйлер (1707-1783г.г.)

 

 

 

 

 

Эйлер - швейцарский математик и механик, академик Петербургской Академии Наук, автор огромного количества глубоких результатов во всех областях математики. Полное собрание сочинений Эйлера-72 тома-не вышло целиком и до сих пор. По единодушному признанию современников Леонард Эйлер - первый математик мира. В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку — топологию.

  Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника:  В + Г  = Р + 2

 

«Эйлер не проглядел ничего в современной ему математике, хотя последние семнадцать лет своей жизни был совершенно слеп».

Э.Т.Белл

 

3-1

 

• Верно, при условии равенства всех ребер.

 

 

 

 

 

Для возвращения к выполнению

задания воспользуйся кнопкой

 

3-2

 

• Неверно.

Прочти ещё раз определение правильного многогранника.

 

3-4

 

• Верно.

 

 

 

 

• Для возвращения к выполнению

задания воспользуйся кнопкой