Определение окружности

Федеральное агентство по рыболовству.

Федеральное государственное образовательное  учреждение

высшего  профессионального образования.

Дальневосточный государственный  технологический

Рыбохозяйственный университет.

(Дальрыбвтуз)

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

   

 

 

 

   

    Тема: Окружность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверил:                                                                         Выполнил:

                                                                                          

 

 

 

“    “            2013г.                                                               “    “            2013г.

______________                                                                ______________

         (подпись)                                                                                                        (подпись)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Владивосток

2013г.

 

 

 

 

1 Содержание: 

 

2.  Теоретическая часть:

2.1 Вписанная окружность

2.2 Описанная окружность

2.3 Взаимное расположение  прямой и окружности

2.4 Площади фигур

2.5 Свойства прямоугольного треугольника

3.  Практическая часть:

3.1 Задачи с окружностью,  описанной около треугольника

3.2 Задачи с окружностью,  вписанной в треугольник

3.3 Задачи с окружностью,  описанной около четырехугольника

3.4 Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник

         4 Список литературы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Теоретическая  часть 

 

2.1 Вписанная окружность  

 

Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности. 

 

 

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, вписанной в треугольник, находится  на пересечении биссектрис треугольника.

Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. 

 

2.2 Описанная  окружность 

 

Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, описанной около треугольника, находится  на пересечении серединных перпендикуляров. 

 

 

Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚.

Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность.

2.3 Взаимное  расположение прямой и окружности:

AB – касательная,  если OH = r

Свойство касательной:

AB _┴ OH (OH – радиус, проведенный в точку касания H)

Свойство отрезков касательных, проведенных  из одной точки:

AB = AC

ﮮ BAO = ﮮ CAO

 

 
 

Свойство хорд: если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM ∙ MB = CM ∙ MD.

 

  

 

 

  

 

Медиана

Медиана (от лат. mediana — средняя), отрезок, соединяющий  вершину треугольника с серединой  противоположной стороны.

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Теорема: сумма углов треугольника равна 180°

Основное  тригонометрическое тождество: sin² A + cos² A = 1

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a² = b² + c²– 2bc ∙ cos A 

 

2.4 Площади  фигур

  

 

 

  

 

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма  равна произведению его основания  на высоту:

·  Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон ​на синус угла между ними:

 

 

Площадь треугольника

ü Площадь треугольника равна  половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:

ü Площадь треугольника равна  половине произведения его основания  на высоту:

ü  Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

 

ü Если высоты двух треугольников  равны, то их площади относятся как  основания.

ü Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:

 

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

 

 

Теорема: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5 Прямоугольный  треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины  прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится  гипотенуза этой высотой:

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

Теорема Пифагора:

В прямоугольном  треугольнике квадрат гипотенузы равен  сумме квадратов катетов: c² = a²+ b²

 
 

 

 

3. Практическая  часть 

 

3.1 Задачи  с окружностью, описанной около  треугольника 

 

Задача 1: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.

   

 

 
   

 

 

Дано: ∆ ABC –  равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚,

площадь ∆ BOC равна 16

Найти: радиус описанной  окружности

Решение:

1.  Проведем медианы AF, CE, BH

2.  ∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный

3.  ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ = 15˚

4.  BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚

5.  ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚

6.  S =   ∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника), S_BOC =   ∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ =   ∙ R ∙ R ∙   =   ∙ R² ;   ∙ R² = 16; R² = 16 :   = 64; R =   = 8

Ответ: R = 8

3.2 Задачи  с окружностью, вписанной в  треугольник 

 

Задача 4: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.

  

 
 

Решение:

1.  AC = 2r = 10 м

2.  Пусть AM = AK = x, MC = CL = y

По теореме  Пифагора:

x + y = 10

(x + 2)² + (y + 2)² = (x + y)²

y = 10 – x

(x + 2)² + (10 – x + 2)² = (x + 10 – x)²

(x + 2)² + (12 – x)² = 100

x² + 4x + 4 +144 – 24x + x² = 100

2x² – 20x + 148 = 100

2x² – 20x + 48 = 0

x² – 10x + 24 = 0

x₁ = 6, x₂ = 4 

y = 10 – x

x = 6                     x = 4

y = 4                     y = 6

3. Так как  нужно найти больший катет, то берем y = 6

BC = 2 + 6 = 8 м

Ответ: BС = 8 м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3. Задачи  с окружностью, описанной около  четырехугольника 

 

Задача 6: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота – 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

 
 

Решение:

1.  Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.

2.   АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 – х.

3.  АО² = АК² + КО²; ОВ² = ВН² + НО²;

так как ОА²=ОВ², получим:

АК² + КО² = ВН² + НО²

90 + 64 – 16x = 0

16x = 154

ОВ² = ВН² + НО²

Ответ: OB = 10,625

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4 Задачи  с окружностью, вписанной в  четырехугольник 

 

Задача 7: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.

Дано: ромб, радиус вписанной окружности – R, BD   r в 4 раза

Найти: 

  

 

Решение:

1.  Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R

2.  

3.  

4.    

Ответ:  

 

 

 

 

Список литературы:

1.  Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»

2.  Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»