Линии второго порядка в проективной геометрии

Министерство образования и науки РФ

Московский государственный областной университет

 

 

 

 

Курсовая работа

на тему:

«Линии второго порядка в проективной геометрии»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Студентка ФМФ

Группа МИ-21

Житенева Марья

 

 

 

 

 

 

 

г. Москва, 2014

Содержание:

1. Введение……………………………………………………...3
2. Понятие «линия второго порядка» на проективной плоскости………………………………………………………………….5
3. Классификация линий второго порядка…………………...8
4. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка………………………11
5. Полюс. Поляра. Поляритет………………………………..12
6. Теорема Штейнера…………………………………………17
7. Теоремы Паскаля и Брианшона…………………………...19
8. Примеры задач……………………………………………...24
9. Заключение…………………………………………………29
10. Список использованной литературы……………………..30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение

Проективная геометрия возникла в первой половине XIX века. Ее возникновение связано с именем известного французского математика Понселе (1788—1867). Серьезный вклад в эту ветвь математики внесли также Шаль (1793—1880) и Штейнер (1796—1863).

Проективная геометрия своим происхождением обязана потребностям графики и архитектуры. «По существу, следующая практическая задача, которой впервые занимался еще Леонардо да Винчи (1452—1519), явилась источником возникновения этой ветви математики: изобразить на плоскости данный трехмерный объект так, чтобы различные части изображения в совокупности представились нам в таком виде, как и соответствующие им части объекта».[2]

Проективная геометрия находится в тесной связи с высшей алгеброй. Она имеет большое значение как теоретическая база прикладной геометрической дисциплины, носящей название начертательная геометрия.

Проективная геометрия, изучающая свойства геометрических фигур, которые сохраняются при любом проектировании данной фигуры с одной плоскости на другую, показала, что задачи начертательной геометрии составляют один из классов задач проективной геометрии.

Заметим, что проективная геометрия лежит в основе теории аэрофотосъемки. Она же играет видную роль в графостатике – науке, решающей графическим путем вопросы равновесия твердых тел.

В той или иной мере проективной геометрией пользуются рабочие, мастера и конструкторы на заводах, топографы и геодезисты, архитекторы и декораторы, художники и скульпторы. Проективная геометрия необходима и космографам, изучающим Землю, Луну и планеты по фотоснимкам, сделанным с космических кораблей.

Цель же моей курсовой работы - рассмотреть линии второго порядка в проективной плоскости, их основные свойства, теоремы Штейнера, Паскаля и Брианшона, практические задачи с линиями второго порядка в проективной плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Понятие «линия второго порядка» в проективной плоскости

Для большей общности дополним проективную плоскость комплексными числами, то есть в выбранном репере точкой будем называть любую тройку чисел не равных одновременно нулю. Причем данная тройка чисел – комплексные числа, а все точки в репере имеют действительные координаты.

Определение 1.

Множество всех точек    проективной плоскости, координаты которых в некотором репере удовлетворяют действительному однородному уравнению второй степени, т.е. уравнению вида:

 

 

называется линией или кривой второго порядка на проективной плоскости.

В однородном уравнении все действительные числа не обращаются в нуль одновременно. Для удобства положим, что , , тогда уравнение (1) можно записать в следующем виде:

 

 

Мы можем опустить знак суммы, исходя из правила А.Эйнштейна, если очевидны пределы суммирования:

   (3)

Теорема 1.

Понятие линии второго порядка на проективной плоскости не зависит от выбора репера R.

Доказательство:

Понятие линии второго порядка является геометрическим и не зависит от выбора репера на проективной плоскости. Если фигура в репере имеет уравнение (3), а – другой проективный репер, формулы преобразования координат точек при переходе от репера R к реперу R’ представляются в следующем виде, исходя из формулы преобразования координат точки проективного пространства измерений:

λ xj = bji yi , j = , λ ≠ 0   (4)

где – координаты точки в репере R, а – координаты этой же точки в репере R'. Подставляя выражения (4) в уравнение (3), имеем:

0 = aij xi xj = aij ( bik yk) ( bjm ym) = ( aij bik bjm) yk ym

Полагая a'ij = ars bri bsj, получаем уравнение линии второго порядка в репере R':

a'ij yi yj = 0 (5)

Определение 2.

Линия второго порядка называется невырожденной, если ее ранг максимален, то есть равен 3, в этом случае .

 

Определение 3.

Линия второго порядка называется вырожденной, если ее ранг меньше 3.

 

Необходимо заметить, что ранг линии второго порядка никогда не будет равен нулю.

Лемма 1.

Любая проективная прямая имеет с невырожденной проективной линией второго порядка не более двух различных общих действительных точек.

Доказательство:

Доказывать лемму будем от противного.

Пусть некая прямая d имеет, по крайней мере, три общие точки M1, M2, M3 с данной линией второго порядка γ. Репер R={A1,A2,A3,E} выберем так, чтобы точки A1 и А2 совпадали соответственно с точками M1 и M2, а точка M3 будет совпадать с точкой пересечения прямых A1A2 и A3E.

 

Рисунок 1 (без линии второго порядка).

Запишем уравнение линии второго порядка γ в виде (1). Точки M1, M2, M3 имеют координаты (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0). Подставим эти значения в уравнение (1), получаем следующее:

 

Мы пришли к противоречию, так как отсюда следует, что γ – вырожденная линия.

 

3. Классификация линий второго порядка

Пусть линия второго порядка на проективной плоскости в некотором репере имеет общее уравнение:

(3)

Рассмотрим квадратичную форму для в трехмерном векторном пространстве.

(6)

В трехмерном векторном пространстве найдется базис, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид. По определению Г.Вейля, порождает проективную плоскость , значит в проективной плоскости найдется репер R, в котором линии второго порядка имеют вид:

 

где равны -1, 0 или 1, но не обращаются в нуль одновременно.

Перебирая все возможные варианты для коэффициентов , убеждаемся, что существует 5 типов линий второго порядка на проективной плоскости. Все типы линий второго порядка на проективной плоскости указаны в таблице 1 «Классификация линий второго порядка».

Таблица 1. «Классификация линий второго порядка»

Название линии	Каноническое  уравнение	Ранг линии
Овальная линия	(x1)2+(x2)2-(x3)2=0	3
Нулевая линия	(x1)2+(x2)2+(x3)2=0	3
Пара прямых	(x1)2-(x2)2=0	2
Пара мнимых прямых	(x1)2+(x2)2=0	2
Пара совпадающих прямых	(x1)2=0	1

 

 

Следует заметить, что не существует проективного преобразования, которое линию одного типа переводит в линию другого типа, а это значит, что указанные типы линий проективно различны.

Следует так же заметить, что любые две линии одного и тоже типа проективно эквивалентны.

Пример:

Пусть γ и γ’ – две овальные линии , которые в реперах R и R' заданы каноническими уравнениями:

 

 

Рассмотрим проективное преобразование f, которое репер R пере-водит в репер R'. В этом преобразовании каждая точка плоскости с координатами переходит в точку с координатами :

 

 

 

поэтому образ линии в репере R' имеет следующее уравнение:

 

 

Это означает, что в преобразовании f линия у переходит в линию '.

4. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка

Пусть невырожденная линия второго порядка, которая в репере R задается уравнением (3), а – прямая, проходящая через точки и заданная уравнением в том же репере R:

    (7)

Найдем координаты точек A пересечения линии с прямой . Для этого подставим (7) в (3):

 

где:

 

 

 

Решим уравнение (8), получим:

 

Исходя из леммы 1 делаем вывод, что в уравнении  (8) хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. В итоге получаем 3 случая:

1. то в двух действительных точках
2. то в двух совпавших точках
3. то в двух комплексно-сопряженных точках

Второй случай пересечения прямой и линии второго порядка в проективной плоскости – условие касания, т.е.

9)

«В каждой точке невыраженной линии второго порядка существует единственная касательная.»[1]

Положим, что точка принадлежит линии второго порядка на проективной плоскости, тогда

 

и условие касания (9) принимает простой вид:

 

Расписывая соотношение (10), заменяя точку Q на текущую точку X(x1,x2,x3), приходим к уравнению касательной:

 

Следует помнить, что

5. Полюс. Поляра. Поляритет

Положим, что на проективной плоскости P2 задана овальная линия, имеющая в некотором репере R уравнение (3).

 

 

Определение 4

Точки P (p1, p2, p3) и Q (q1, q2, q3) называются сопряженными относительно овальной линии, если выполняется условие

aij piqj = 0 (12)

Сопряженность точек относительно овальной линии не зависит от выбора репера R.

«Если точка P лежит на овальной линии, то, вспоминая уравнение касательной прямой к линии второго порядка, убеждаемся, что точки P и Q сопряжены относительно γ  тогда и только тогда, когда точка Q лежит на касательной к линии второго порядка в точке P».[1]

Следующая теорема раскрывает геометрический смысл сопряженности двух точек, не лежащих на данной овальной линии.

Теорема 2

Пусть на проективной плоскости заданы овальная линия  γ, и две точки P и Q, не лежащие на  γ,  причем прямая (PQ) пересекает  γ  в двух различных точках M и N. Для того, чтобы P и Q были сопряжены относительно γ, необходимо и достаточно, чтобы пара точек P и Q гармонически разделяла пару точек M и N, (т.е. чтобы сложное отношение четырех точек P, Q, M и N было равно -1: (PQ, MN) = -1.

Доказательство:

Доказательство. Выберем на проективной плоскости произвольный репер R = (A1, A2, A3, E), пусть в этом репере овальная линия имеет уравнение (1) и точки P и Q приобретают проективные координаты P (p1, p2, p3) , Q (q1, q2, q3); прямая (PQ) задается параметрическими уравнениями

x1= λp1 + μq1; x2= λp2 + μq2; x3= λp3 + μq3     (13)

Рисунок 2.

Пусть точки пересечения прямой (PQ) и овальной линии имеют следующие координаты:

M(λ1 p1 + μ1 q1, λ1 p2 + μ1 q2, λ1 p3 + μ1 q3)

N(λ2 p1 + μ2 q1, λ2 p2 + μ2 q2, λ2 p3 + μ2 q3) .

Вычислим сложное отношение (PQ, MN). Обозначим через P′, Q′, M′, N′ проекции точек P, Q, M, N на координатную прямую (A1A2) из центра A3, тогда в репере R3 = (A1, A2, E3) (E3 =( A3 E ∩ (A1 A2)) имеем , Q′ (q1, q2), M′(λ1 p1 + μ1 q1, λ1 p2 + μ1 q2), N′(λ2 p1 + μ2 q1, λ2 p2 + μ2 q2).

(PQ, MN) = (P′Q′, M′N′) = =

 

 

Заметим, что тогда и только тогда, когда .

Подставляя соотношение (13) в уравнение (3), получаем после деления на λ2:

A22 + 2A12 +  A11 = 0           (14)

Поскольку точки P и Q не лежат на овальной линии, то A22 = aijpiqj ≠ 0 A11 = aij piqj ≠ 0.

Так как точки M и N лежат на овальной линии, то = -

Точки P и Q сопряжены относительно γ тогда и только тогда, когда aijpiqj = A12= 0, т.е. P и Q сопряжены, если и только если = 0, что в свою очередь равносильно тому, что (PQ, MN) = -1.

Определение 5

 Пусть на  проективной плоскости задана  овальная линия γ и точка  P. Полярой называется множество точек d, сопряженных с точкой P относительно γ, а сама точка P называется полюсом поляры d.

Если овальная линия задается в некотором репере уравнением (3), точка P имеет координаты (p1, p2, p3), то из условия сопряженности (12) получаем уравнение поляры d:

(ai1pi) x1 + (ai2pi) x2 + (ai3pi) x3 = 0      (15)

Поскольку овальная линия невырождена, то не все коэффициенты при x1, x2, x3 равны нулю, поэтому d – прямая. Для каждой точки P (p1, p2, p3), проективной плоскости существует поляра (15) относительно овальной линии (3), и обратно для каждой прямой u1 x1 + u2x2 + u3x3 = 0  существует единственный полюс P, координаты которого определяются системой уравнений

a11p1+ a21 p2+ a31 p3 = λu1 
a12p1+ a22 p2+ a32 p3 = λu2 
a13p1+ a23 p2+ a33 p3 = λu3,

где λ ≠ 0.

Овальная линия не вырождена, определитель системы не равен нулю, поэтому точка P определяется однозначно (координаты точки P находятся с точностью до ненулевого множителя).

Таким образом, любая овальная линия определяет биекцию

P2 → (P2)′ проективной плоскости P2 на множество (P2)′ ее прямых.

 

 

Теорема 3 (о взаимности поляритета)

Пусть на проективной плоскости задана овальная линия. Если точка Q лежит на поляре точки P, то точка P лежит на поляре точки Q.

6. Теорема Штейнера

«Теорема Штейнера позволяет дать геометрическое определение овальной линии второго порядка при помощи отображения одного пучка прямых на другой».[1]