Элементы механики жидкостей и газов

Лекция 6

Элементы механики жидкостей и газов

 

 

 

План

1. Давление. Закон Паскаля. Гидростатическое давление. Сила Архимеда.
2. Уравнение неразрывности.
3. Уравнение Бернулли.
4. Вязкость (внутренне трение).
5. Число Рейнольдса. Принцип подобия.
6. Методы определения вязкости: метод Стокса; формула Пуазейля.

 

1. Давление – это сила, действующая на единицу площади:

,       или, точнее:           .                                 (6.1)

Размерность давления .

По закону Паскаля давление в любой точке покоящегося газа или жидкости одинаково по всем направлениям и одинаково передаётся по всему объёму.

Гидростатическое давление жидкости на глубине h под свободной поверхностью жидкости, обусловленное её весом, равно:

.                                                     (6.2)

Закон Архимеда: на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

,                                               (6.3)

где – объём погружённой в жидкость части тела. Действие силы Архимеда обусловлено разностью гидростатического давления на разной глубине.

Далее будем рассматривать движущуюся жидкость (газ).

Гидроаэромеханика – это раздел механики, в котором изучаются законы равновесия и движения жидкой (и газообразной) среды и её взаимодействия с телами, обтекаемыми этой средой. Плотность жидкости практически не зависит от давления, поэтому жидкость в гидродинамике считаем несжимаемой. Для газа, вообще говоря, это не так, но опыт показывает, что при не слишком больших скоростях потока сжимаемостью газа можно пренебречь. Гидроаэромеханика использует единый подход для описания поведения жидкостей и газов.

В гидроаэродинамике отвлекаются от молекулярного строения жидкости и рассматривают её как сплошную, непрерывную среду. Частицей среды будем называть малый элемент объёма среды, размеры которого много больше межмолекулярных расстояний, но в то же время столь малы, что в пределах её параметры потока (давление, скорость течения) можно считать одинаковыми.

Для описания течения жидкости задают поле скоростей частиц жидкости, то есть зависимость скоростей частиц от координат (радиус-вектора) и времени: . В случае установившегося (стационарного) течения скорость потока в данной точке от времени не зависит.

Линией тока называется мысленно проведённая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости частиц .

Трубка тока – это поверхность, образованная линиями тока, проведёнными через все точки замкнутого контура. При установившемся течении линии тока не изменяются, и частицы жидкости не пересекают поверхность трубки тока, так как линия тока – это, по существу, траектория частицы.

 

2. Уравнение неразрывности.

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой жидкости. Возьмём трубку тока, ограниченную перпендикулярными к направлению скорости сечениями S1 и S2 (рис.6.1), достаточно малыми, чтобы в пределах сечения скорость частиц жидкости можно было считать постоянной: в сечении S1 скорость равна , в сечении S2 – . Поскольку жидкость несжимаема (ρ=const), то объём жидкости, поступающий через первое сечение, равен объёму жидкости, вытекающей через второе сечение за тот же промежуток времени :

 

  ,                                                             (6.4)

или

,                                                            (6.5)

где и   – путь, пройденный частицами жидкости в соответствующем сечении за время . Тогда получим:

,

или

.                                                (6.6)

Соотношение (6.6) – это уравнение неразрывности струи.

Объёмным расходом жидкости называется объём, протекающий через сечение за единицу времени:

.                                         (6.7)

Размерность

.

Если сечения трубки тока нельзя считать малыми, то для вычисления объёмного расхода нужно интегрировать по сечению трубки тока:

.

Уравнение неразрывности, по существу, означает равенство объёмного расхода в любом сечении трубки тока, если течение стационарно.

Массовым расходом называется масса жидкости, протекающая через сечение за единицу времени:

,                                         (6.8)

.

3. Уравнение Бернулли.

В реальных жидкостях между отдельными слоями потока есть внутренне трение (вязкость). Но в ряде случаев влиянием вязкости жидкости можно пренебречь (вязкость воды и спирта, например, в обычных условиях очень невелика), а вязкость газа вообще очень незначительна.

Идеальной жидкостью называется жидкость без внутреннего трения (без вязкости).

Рассмотрим стационарно текущую идеальную жидкость (рис.6.2). Сечения опять будем считать достаточно малыми, так что скорости частиц жидкости в пределах сечения одинаковы, а кроме того, размеры сечения много меньше его высоты h над выбранным уровнем. За время dt жидкость, находящаяся между сечениями, проходящими через точки А и В, заполнит участок между точками  A` и B`.

Поскольку течение стационарно, состояние жидкости между сечениями, проходящими через точки A` и B, не изменяется, так что этот участок можно не рассматривать и считать, что масса жидкости  ( ) за  время dt переместилась из положения АА` с высоты h1 в положение ВВ` на высоту h2. Внутреннего трения нет, поэтому работа внешних сил давления идёт только на увеличение механической энергии массы жидкости dm:

.                                              (6.9)

Работа силы давления в сечении S1 при перемещении на dl1:

  ,                                  (6.10)

так как сила давления , а объём протекшей жидкости . Аналогично работа в сечении S2 при перемещении на dl2:

.                                                 (6.11)

Знак «минус» указывает на то, что в этом сечении направления силы давления и перемещения противоположны. Работа сил давления, действующих на боковую поверхность цилиндра, равна нулю, так как эти силы перпендикулярны поверхности, а следовательно, и перемещению частиц жидкости.

Далее, начальная механическая энергия массы dm, движущейся со скоростью v1 и находящейся на высоте h1, равна

  .                                          (6.12)

Механическая энергия через dt на высоте h2 аналогично:

,                                          (6.13)

тогда из (6.9):(6.13):

 

Плотность равна , поэтому

,

или:

.                              (6.14)

Это – уравнение Бернулли.

Его можно записать так:

,                                           (6.14а)

то есть сумма статического давления p, динамического  и гидростатического в любом сечении трубки тока остаётся постоянной. Отсюда, в частности, следует, что в горизонтальной трубе в местах сужения, где скорость потока больше, статическое давление падает. 

 

4. Вязкость (внутренне трение).

Во всех реальных жидкостях и газах при перемещении одного слоя относительно другого возникают силы трения. Со стороны слоя, движущегося более быстро, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Наоборот, со стороны слоя, движущегося медленнее, на более быстрый слой действует тормозящая сила. Эти силы, носящие название сил внутреннего трения, направлены по касательной к поверхности слоёв.

Пусть два слоя (рис.6.3) площади , отстоящих друг от друга на расстояние , движутся со скоростями v1 и v2 соответственно, Δv=v2–v1. Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями (ось z), перпендикулярно вектору скорости движения слоев. Величина

,

которая показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою, называется градиентом скорости. Величина силы внутреннего трения , действующей между слоями, пропорциональна площади соприкосновения движущихся слоёв и градиенту скорости (закон Ньютона):

,                                              (6.15)

где – коэффициент вязкости (динамическая вязкость). Знак «–» показывает, что сила направлена противоположно градиенту скорости, то есть быстрый слой тормозится, а медленный – ускоряется.

Единицей измерения коэффициента вязкости в СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1м, приводит к силе внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 площади слоев. Эта единица называется паскаль-секундой (Па.с). В некоторые формулы (например, число Рейнольдса, формула Пуазейля) входит отношение  коэффициента вязкости к плотности жидкости ρ. Это отношение получило название коэффициента кинематической вязкости :

.                                                         (6.16)

Для жидкостей, течение которых подчиняется уравнению Ньютона (6.16), вязкость не зависит от градиента скорости. Такие жидкости называются  ньютоновскими. К неньютоновским (то есть не подчиняющимся уравнению (6.16)) жидкостям относятся жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, например, растворы полимеров.

Вязкость данной жидкости сильно зависит от температуры: при изменениях температуры, которые сравнительно нетрудно осуществить на опыте, вязкость некоторых жидкостей может изменяться в миллионы раз. При понижении температуры вязкость некоторых жидкостей настолько возрастает, что жидкость теряет текучесть, превращаясь в аморфное твердое тело.

Я.И. Френкель вывел формулу, связывающую коэффициент вязкости жидкости с температурой:

,                                               (6.17)

где А – множитель, который зависит от расстояния между соседними положениями равновесия молекул в жидкости и от частоты колебаний молекул, ΔЕ – энергия, которую надо сообщить молекуле жидкости, чтобы она могла перескочить из одного положения равновесия в другое, соседнее (энергия активации). Величина ΔЕ обычно имеет порядок (2÷3).10-20 Дж, поэтому, согласно формуле (16.3), при нагревании жидкости на 100С вязкость её уменьшается на 20÷30%.

Значения коэффициентов вязкости газов существенно меньше, чем жидкостей. С повышением температуры вязкость газа увеличивается (рис.6.4) и при критической температуре становится равной вязкости жидкости.

Отличие в характере поведения вязкости при изменении температуры указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах. Молекулярно-кинетическая теория объясняет вязкость газов переносом импульса из одного слоя в другой слой, происходящим за счет переноса вещества при хаотическом движении молекул газа. В результате в слое газа, движущемся медленно, увеличивается доля быстрых молекул, и его скорость (средняя скорость направленного движения молекул) возрастает. Слой газа, движущийся медленно, увлекается более быстрым слоем, а слой газа, движущийся с большей скоростью, замедляется. С повышением температуры интенсивность хаотического движения молекул газа возрастает, и вязкость газа увеличивается.

Вязкость жидкости имеет другую природу. В силу малой подвижности молекул жидкости перенос импульса из слоя в слой происходит из-за взаимодействия молекул. Вязкость жидкости в основном определяется силами взаимодействия молекул между собой (силами сцепления). С повышением температуры взаимодействие молекул жидкости уменьшается, и вязкость также уменьшается.

Несмотря на различную природу вязкость жидкостей и газов с макроскопической точки зрения описывается одинаковым уравнением (6.15). Величину импульса , перенесенного из одного слоя газа или жидкости в другой слой за время Δt, можно найти из второго закона Ньютона:

.                                                  (6.18)

Из (16.1) и (16.4) получим:

.                                            (6.19)

Тогда физический смысл коэффициента динамической вязкости можно сформулировать так: коэффициент вязкости численно равен импульсу, перенесенному между слоями жидкости или газа единичной площади за единицу времени при единичном градиенте скорости. Знак «минус» показывает, что импульс переносится из более быстрого слоя в более медленный.

 

 

5. Число Рейнольдса. Принцип подобия.

Различают два режима течения: ламинарное (слоистое) – без перемешивания слоёв (рис.6.5) и турбулентное (вихревое) – с перемешиванием, то есть в отдельных точках потока скорости отдельных частиц перпендикулярны потоку (рис.6.6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис.6.7 видно, как с увеличением скорости обтекания тела ламинарное течение становится неустойчивым, хаотичным и переходит в турбулентное.

Для того, чтобы оценить характер течения жидкости, вводится безразмерная величина , называемая числом Рейнольдса.