Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

                          φ₂ (х_i) = sin(x)                                        φ₃ (х_i) = е^-х

                         φ₂ (х₁) = 1,1                                  φ₃ (х₁) = е^-1,1 = 0,333

                         φ₂ (х₂) = 2,1                 φ₃ (х₂) = е^-2,1 = 0,122

                         φ₂ (х₃) = 3,1                       φ₃ (х₃) = е^-3,1 = 0,045

                         φ₂ (х₄) = 4,1                                  φ₃ (х₄) = е^-4,1 = 0,017

                         φ₂ (х₅) = 5,1          φ₃ (х₅) = е^-5,1 = 0,006

Метод решения  системы нормальных уравнений: SIMQ – Гаусса.

 

2. Критерий аппроксимации и условия его минимума

В данной курсовой работе необходимо найти критерий аппроксимации:

Так же в задача состоит в нахождении φ_i (х_i) аппроксимирующей функции в соответствии критерию: . Функция будет приходить к min только при взятии первой производной, которая должна быть равно 0 (нулю): Данное условие обеспечивает  min функции, которое является необходимым и достаточным.

 

 

Для того, чтобы  рассчитать аппроксимирующую функцию  необходимо найти неизвестные коэффициенты. Формула подсчета аппроксимирующей функции:

Рассчитав производные, найдем коэффициенты уравнений нормальных уравнений:

Распишем частные  производные и найдем их значения:

 

Выразим производные  для вычисления коэффициентов нормальных уравнений:

Перенесем алгебраическую сумму с минусом в правую часть:

Затем распишем все коэффициенты уравнений:

       а ₁₁                                       а ₁₂                                       а ₁₃                                        в ₁

       а ₂₁                                       а ₂₂                                       а ₂₃                                        в ₂

        а ₃₁                                       а ₃₂                                       а ₃₃                                        в ₃

 

 

 

3. Формирование системы нормальных уравнений

 

Распишем каждый элемент на его составляющие части, входящие в него:

а ₁₁ = (φ₁ (х₁)* φ₁ (х₁)+ φ₁ (х₂)* φ₁ (х₂)+ φ₁ (х₃)* φ₁ (х₃)+ φ₁ (х₄)* φ₁ (х₄)+ φ₁ (х₅)* φ₁ (х₅) ) * С₁

а ₁₂ = (φ₁ (х₁)* φ₂ (х₁)+ φ₁ (х₂)* φ₂ (х₂)+ φ₁ (х₃)* φ₂ (х₃)+ φ₁ (х₄)* φ₂ (х₄)+ φ₁ (х₅)* φ₂ (х₅) ) * С₂         

а ₁₃ = (φ₁ (х₁)* φ₃ (х₁)+ φ₁ (х₂)* φ₃ (х₂)+ φ₁ (х₃)* φ₃ (х₃)+ φ₁ (х₄)* φ₃ (х₄)+ φ₁ (х₅)* φ₃ (х₅) ) * С₃        

а ₂₁ = (φ₂ (х₁)* φ₁ (х₁)+ φ₂ (х₂)* φ₁ (х₂)+ φ₂ (х₃)* φ₁ (х₃)+ φ₂ (х₄)* φ₁ (х₄)+ φ₂ (х₅)* φ₁ (х₅) ) * С₁         

а ₂₂ = (φ₂ (х₁)* φ₂ (х₁)+ φ₂ (х₂)* φ₂ (х₂)+ φ₂ (х₃)* φ₂ (х₃)+ φ₂ (х₄)* φ₂ (х₄)+ φ₂ (х₅)* φ₂ (х₅) ) *  С₂       

а ₂₃ = (φ₂ (х₁)* φ₃ (х₁)+ φ₂ (х₂)* φ₃ (х₂)+ φ₂ (х₃)* φ₃ (х₃)+ φ₂ (х₄)* φ₃ (х₄)+ φ₂ (х₅)* φ₃ (х₅) ) * С₃         

а ₃₁ = (φ₃ (х₁)* φ₁ (х₁)+ φ₃ (х₂)* φ₁ (х₂)+ φ₃ (х₃)* φ₁ (х₃)+ φ₃ (х₄)* φ₁ (х₄)+ φ₃ (х₅)* φ₁ (х₅) ) * С₁         

а ₃₂ = (φ₃ (х₁)* φ₂ (х₁)+ φ₃ (х₂)* φ₂ (х₂)+ φ₃ (х₃)* φ₂ (х₃)+ φ₃ (х₄)* φ₂ (х₄)+ φ₃ (х₅)* φ₂ (х₅) ) * С₂         

а ₃₃ = (φ₃ (х₁)* φ₃ (х₁)+ φ₃ (х₂)* φ₃ (х₂)+ φ₃ (х₃)* φ₃ (х₃)+ φ₃ (х₄)* φ₃ (х₄)+ φ₃ (х₅)* φ₃ (х₅) ) * С₃         

в ₁ = у₁ * φ₁ (х₁)+ у₂ * φ₁ (х₂)+ у₃ * φ₁ (х₃)+ у₄ * φ₁ (х₄)+ у₅ * φ₁ (х₅)       

в ₂ = у₁ * φ₂ (х₁)+ у₂ * φ₂ (х₂)+ у₃ * φ₂ (х₃)+ у₄ * φ₂ (х₄)+ у₅ * φ₂ (х₅)

в ₃ = у₁ * φ₃ (х₁)+ у₂ * φ₃ (х₂)+ у₃ * φ₃ (х₃)+ у₄ * φ₃ (х₄)+ у₅ * φ₃ (х₅)

Теперь необходимо записать в общем виде систему нормальных уравнений:

 а ₁₁ *С₁ +а ₁₂ *С₂ +а ₁₃ *С₃ = в ₁

 а ₂₁ *С₁ +а ₂₂ *С₂ +а ₂₃ *С₃ = в ₂

 а ₃₁ *С₁ +а ₃₂ *С₂ +а ₃₃ *С₃ = в ₃

 

4. Вычисление коэффициентов системы нормальных уравнений

Следующее действие, арифметические вычисления коэффициентов  нормальных уравнений:

а ₁₁ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5*С₁

а ₁₂ = 0,0998 + 0,717 + 0,963 + 0,863 + 0,0415 = 2,684*С₂         

а ₁₃ = 0,904 + 0,449 + 0,272 + 0.122 + 0,045 = 1,792*С₃        

а ₂₁ = 2,684*С₁                  

а ₂₂ = 0,00996+0,514+0,927+0,744+0,172 = 2,366*С₂       

а ₂₃ = 0,0902+0,321+0,261+0,105+0,0186 = 0,779*С₃         

а ₃₁ = 1,792*С₁         

а ₃₂ =0,779*С₂         

а ₃₃ = 0,817+0,201+0,0739+0,0148+0,00202=1,108*С₃         

в ₁ = 2,5 + 2,9 + 2,0 + 1,2 + 0,6 = 9,2     

в ₂ = 5,538

в ₃ = 4,279

 

 

Решив не сложные  математические выражения получим  исходную систему уравнений:

  5*С₁ +2,684*С₂ +1,792*С₃ = 9,2

 2,684*С₁ +2,366*С₂ +0,779*С₃ = 5,538

1,792*С₁ +0,779*С₂ +1,108*С₃ = 4,279

 

5. Решение системы нормальных уравнений

Решая данную систему  методом Гаусса получим:

Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов  при X1 - n:

5 2.684 1.792 2.684 2.366 0.779 1.792 0.779 1.108

=     1.987268152

 

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его. 
Достоим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.

5 2.68 1.79 9.2 2.68 2.37 0.78 5.54 1.79 0.78 1.11 4.28

 

Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (3 × 3) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

 

5 2.68 1.79 9.2 0 0.93 -0.18 0.6 0 -0.18 0.47 0.98

 

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

 

5 2.68 1.79 9.2 0 0.93 -0.18 0.6 0 0 0.43 1.1

 

 

 

 

 

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

 

5 2.68 0 4.61 0 0.93 0 1.07 0 0 0.43 1.1